Динамо-машины  Мехатроника и робототехнология 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26

из которого следует с учетом (6.17), что необходимо решить следующее кубическое уравнение

2Я(Я,-1) + ЗЯ-1 = 0, (6.23)

где Я =

-. в частном случае, когда (Яд.) = , т.е. рессора имеет те

же упругие характеристики, что и ПКП, получаем Я = или h, = hp.

Таким образом, при выбранных материалах рессоры и пьезокерамики можно определить соотношение между толщинами слоев, при котором механическое напряжение на поверхности ПКП будет равным нулю.

Общий характер распределения механических напряжений и деформаций по сечению, возникающих при подаче электрического напряжения, качественно похож на характер распределения этих величин при повышении температуры в биметаллических пластинах [2]. В них наблюдаются такие же скачки напряжений в области спая. Однако в таких устройствах не может существовать пассивный слой как в БПП и, кроме того, картина распределения указанных характеристик не может быть симметричной относительно нейтральной линии изгиба. Сравнительный анализ зависимости (6.19) и аналогичной зависимости деформаций от температуры для биметаллов свидетельствует, что при отсутствии внешней нагрузки относительная деформация постоянна по длине, поэтому нейтральная лшшя имеет в обоих слут1аях постоянную кривизну по длине, т.е. изогнутые элементы имеют форму дуги окружности.

В связи с тем, что уравнения обратного пьезоэффекта (6.1) и закон Гука (6.2) линейны, то при подаче электрического напряжения и нагружении БШ внешними механическими нагрузками будет действовать принцип суперпозиции. Он заключается в том, что деформации и механические напряжения, воз-никаюпще при совместном действии электрического напряжения и внешних

]У1еханических нагрузок, будут представлять собой алгебрашескую сумму указанных воздействий.

6.2. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ СВОБОДНОГО КОНЦА БПП

Как было показано выше, нейтральная линия БПП при отсутствии внешних сил имеет постоянную кривизну, поэтому она имеет форму окружности. Относительная деформация S слоя с координатой z для изогнутого бруса

(6.24)

где R- радиус кривизны изогнутой нейтральной линии [27]. Учитывая зависимость (6.6), получим для БПП

-1 = D.

Угол поворота поперечного сечения БПП с координатой х

e = plusmn;\-(h = +Dx, а перемещение свободного конца БПП

= = plusmn;Dxdx = plusmn;-,

(6.25)

(6.26)

(6.27)

где верхний знак берется при положрггельной кривизне (выпуклость вниз), а ййжний знак - при отрицательной кривизне (выпуклость ввверх). Учитывая формулу (6.16), получим перемещение конца БПП при подаче электрического напряжения на ПКП

(6.28)

Для случая, показанного на рис. 6.2, в (6.28) берем знак laquo;- raquo;, т.к. верхние слоц БПП, расположенные выше оси х имеют положительную деформацию и, еле-довательно, кривизна будет отрицательной и перемещение конца БПП будех происходить в отрицательном направлении оси z.

Обычно разработчик может в большей степени варьировать параметрами рессоры, чем пьезокерамики, поэтому рассмотрим влияние на перемещение изменение модуля упругости рессоры и ее толщины. Максимум перемещения достигается при = О. При уменьшении толщины рессоры перемещение увеличивается и достигает максимума при hj=0. В частном случае, когда толщина рессоры hj = 0, перемещение свободного конца БПП, состоящего только из двух склеенных ПКП, определяется выражением

(6.29)

Эта формула аналогична зависимостям (3.1), является частным случаем и приводится в различных литературных источниках [3, 54].

Чем тоньше металлическая рессора и меньше ее модуль угфугости, а также меньше податливость пьезокерамики, тем больше смещение БПП. Для повышения смещения в качестве рессоры могут быть использованы дюралюминиевая или тонкая фольгированная стеклотекстолитовая пластинка, имеющая низкий модуль упругости. Фольга в последнем случае служит для обеспечения электрического контакта с электродами ПКП. Таким образом, для достижения максимального значения перемещения БПП необходимо уменьшать толщину рессоры и ее модуль упругости. Однако следует учитывать, что при очень малой толщине рессоры (~ 0,01 мм) заделка такого БПП вырождается в упругий шарнир, что влечет за собой изменение граничных условий хфи расчетах коле бательных систем. Кроме того, анализ представленных формул подтверждав утверждение [8], что для увеличения перемещения необходимо уменьшать слой клея.

Определим перемещение свободного конца БПП, имеющего выпуск рессоры, второй конец которого закреплен, как показано на рис. 6.3. Длина ПКП, составляющих БПП -/, длина металлической рессоры -L, ширина ПКП и рессоры одинакова и равна - b на всей длине. Пусть при подаче постоянного электрического напряжения U на электроды ПКП верхняя ПКП удлиняется, а нижняя - укорачивается. В этом случае нейтральная линия 0-0 изогнется, как показано на рис. 6.4.

Рис. 6.3. Расчетная схема БПП с выпуском рессоры

/ /?0

Рис.6.4. Положение нейтральной линии БПП с выпуском рессоры при подаче электрического напряжения

Т.к. на выпуске рессоры отсутствует какое либо воздействие, то угол поворота Нейтральной линии достанется постоянным на отрезке 1 lt;х lt;Ь\

(6.30)

Перемещение свободного конца металлической рессоры исходя из рис.6.4

, = +в{1-1). (6.31)

Из (6.28),(6.30) и (6.31) имеем формулу для определения перемещения свободного конца рессоры

1 + 2

L-1 I )

1 + 2

L-l I J

h +-

(6.32)

Анализ этой формулы показывает, что перемещение свободного конца БПП зависит от длины ПКП во второй степени, а от отношения Z - в первой сте-

пени.

Приведем численные значения характеристик БПП с выпуском рессоры при следующих значениях параметров: / =3,0-10 л lt;, Z = 5,3-10- лг, Ь = \,5Л0 м. h=\,Q-\Qr м, /!, =0,80-10 м, Sji = 0,7М0 Па (дюралюминий), s,; =10,7-10 Па-, =1,35-10- КлН(пьезокерамикаЦТБС-S). Расчеты дали следующие результаты при [/ = 300 В: перемещение свободного конца , =5,8-10 м, = 0,087механическое напряжение в пьезокерамике Тр = 2,АЛ0 Па (на поверхности пьезопластины), механическое напряжение в металле Tj =1,8-10 Па (на поверхности рессоры), скачок механических напряжений АГ = 4,2 -10 Па, относительная деформация вдоль всей длины Я/ОТ 5 = 6,6-10-.

6.3. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Идея метода заключается в следующем. Подача электрического напряжения на электроды ПКП приводит к изгибу БПП. К тому же результату приводит и внешнее механическое воздействие, в частности изгибающий момент и поперечная сила. Очевидно, что можно найти такое внешнее механическое воздействие на БПП, которое дает равные по величине линейные и угловые перемещения БПП, возникающие тфи подаче электрического напряжения [43]. Польза от определения эквивалентных механических воздействий состоит в том, что математический аппарат для нахождения перемещений и напряженных состояний при воздействии внешних сил и моментов на упругие конструкции достаточно глубоко разработан. Имеются пакеты прикладных гфограмм по сопротивлению материалов и теории упругости, позволяющие численными методами определить статические и динамические перемещения и напряжения в сложных конструкциях.

Сначала определим жесткости сечений композита (рис. 6.1), состоящего из двух ПКП и металлической рессоры. Будем считать, что склейка поверхностей ПКП и рессоры обладает абсолютной жесткостью, и проскальзывание слоев отсутствует.

При изгибе балки момент, действующий в любом поперечном сечении балки, имеющем координату х, М(х)= J T{z)zdCl, где T(z) - механическое нэпе)

пряжение в слое с координатой z , С1(х)- площадь поперечного сечения. Для симметричной композитной балки, состоящей из трех слоев, поперечным сечением которой является тфямоугольник (рис.6.5), эта формула имеет вид

М = j TzdQ + 2 j TpZpdQp, (6.33)

Де Cl, и Q, - площади поперечного сечения металлической рессоры и ПКП,

Аг = - механическое натфяжение в слое металлической рессоры с коор-о