Динамо-машины  Мехатроника и робототехнология 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26

Определим зависимость деформаций и механических напряжений от элек-трического напряжения U. Т.к. слои склеены между собой, то будем считать, что проскальзывание слоев отсутствует и поперечное сечение laquo;сендвича raquo; при изгибе остается плоским и не деформируется. Кроме того, поперечное сечение остается перпендикулярным нейтральной линии.

Для рассматриваемого случая (S S,S,S( T2,T,T,,T,Tf, = Q ) уравнение обратного пьезоэффекта (5.2) может быть представлено в виде [8] при

(6.1)

где Sp(z)- относительная деформация ПКП (либо верхней, либо нижней) - она эквивалентна S Tpiz) - механическое напряжение, возникающее в ПКП - оно эквивалентно 7], 5, - податливость пьезокерамики при постоянной напряженности электрического поля, й?з, - пьезоэлектрический модуль ПКП при действии электрического напряжения в направлении, перпендикулярном деформации ПКП, EU/hp - напряженность электрического поля при подаче напряжения и на электроды ПКП. В нашем случае ось z совпадает с осью с номером laquo;3 raquo;, а ось X - с осью laquo;1 raquo;.

Для пассивной металлической рессоры справедлив закон Гука на участке -A/2 lt;z lt;V/2:

TAz) = EM), (6.2)

где 7 (z) - механическое напряжение, возникающее в металлической рессоре, Ef - модуль Юнга для металла рессоры, 5(z) - относительная деформация рессоры.

Т.к. поперечное сечение БПП поворачивается при изгибе на угол 0 без дефор мации, оставаясь плоским, то справедливо равенство при

-hj/2-hp lt;z lt;h/2 + hp

Spiz) = S,(z). (6.3)

Исходя из линейного характера уравнений (6.1)-(6.3) можно предположить, что механические напряжения также будут иметь линейную зависимость от z как на пассивном, так и на активных участках. Вследствие симметричности БПП можно для простоты определить эти зависимости, например, только для верхней части:

Tp{z) = A + Bzupn h,l2 lt;z lt;.hp + V/2, (6.4)

(z) = Cz при 0 lt;z lt;/2, (6.5)

Sp{z) = S{z) = Dz при 0 lt;z lt;hp + h/2, (6.6)

где A,B,C,D - постоянные коэффициенты. Подставив (6.5) и (6.6) в (6.2), получим

Cz = EjDz или D =

Подставим (6.4) и (6.6) в (6.2):

Dz = sf{A + Bz) + d,E, а с учетом (6.7) уравнение (6.8) будет иметь вид С

-Z = Sn(A + Bz) + dyEj или

С \

---z = d E, + A4.

(6.7)

(6.8)

(6.9)

Подчеркнем, что уравнение (6.9) должно выполняться при Vz из интервала 0 lt;z lt;hp+\l2, поэтому левая и правая части уравнения (6.9) должны быть равны нулю;

-Bst,=0 dE + Asf = О

откуда получим следующие зависимости для коэффшщентов А, В, С

А = -

(6.10) (6.11)

в любом поперечном сечении БПП изгибающий момент М(х) = 0 при О lt; дг lt; /, т.к. на БПП не действуют никакие внепшие силы и моменты:

М = 2Ь\(z) zdz + 2b j Tp{z) zdz = 0.

(6.12)

где m = h/2, n = hj, + h/2.

Используя в (6.12) выражения (6.4) и (6.5), получим следующее уравнение:

Czdz + f(A + Bz)zdz = 0.

(6.13)

Произведя необходимые преобразования, получим

= 0.

С учетом уравнений (6.10) и (6.11) определим значение коэффшщента С:

3з, ;Ди-?я) з

(6.14)

С = -

Подставив (6.15) в (6.7), найдем значение коэффициента D

D = -

mEusf+{n-т)

(6.15)

(6.16)

Таким образом, определены все коэффициенты уравнений (6.4), (6.5), (6.6), позволяющих найти механические напряжения Tp(z),Tj(z) и относительные деформации Sf,(z),S(z)B активных и пассивном слоях поперечного сечения БГШ при подаче напряжения U на ПКП.

При hfjluzUhp + /!J/2,

hp+-

(6.17)

hp\ ~f

-E / +

-U npTiO lt;z lt;hj/2, (6.18)

U npa0uz lt;hp + hf/2. (6.19)

5р()=ад=

Эпюры распределения деформаций и напряжений по сечению, полученные, исходя из формул (6.17)-(6.19), показаны на рис. 6.2 Ь, е. В пограничном слое при z = hj/2 существует скачок механических напряжений

-1Ж.

Используя (6.17) и (6.18), получим

1 3 Pм{-m)

s,2 E sfy+{n-m)

V-ii у

(6.20)

(6.21)

где m = hf/2, n = hp+hj/2.B частном случае при отсутствии металлической рессоры (/г = 0) скачок механических напряжений максимален

А7о =

(6.22)

Физический смысл появления скачка механических напряжений на границах рессоры и ПКП состоит в следующем. Рассмотрим деформацию, возникающую в БПП, как сумму деформации от действия электрического напряжения и упругой деформации, которая возникает из-за взаимодействия склеен-чых частей

Sp = Sp + Sp,

где Sp=djj- - деформагдая не склеенных ПКП при действии только элек-К

трического напряжения, = sj, - упругая деформация ПКП, возникающая только из-за взаимодействия с приклеенной к ней пассивной рессорой. Соответственно для рессоры ее деформацию также можно представить как сумму деформаций от действия электрического напряжения {Sj) и от действия упругих сил, возникающих из-за взаимодействия с приклеенной к ней ПКП (5,)

= Ми + МЕ

В этом выражении = ЕТ, а 5/ = О, т.к. материал рессоры пассивен к действию электрического напряжения. В этом атучае эпюра деформаций свободных частей БПП, возникающих от действия электрического нагфяжения, будет иметь вид, показанный на рис. 6.2 с, а эпюра упругих деформаций, возникающих от взаимодействия склеенных частей (рис. 6.2 d), получится как разность эгпор на рис.6.2 b и на рис.6.2 с.

Uzj - Uz)

Рис. 6.2. Эпюры распределения деформатщи и механических напряжений по поперечному сечению Б1Ш, а - участок БПП, b - эпюра деформаций БПП, с -эпюра деформаций, возникающих на свободных ПКП от действия электрического напряжения, d - эпюра чисто упругих деформаций БПП, е - эпюра механических напряжений БПП

Очевидно, что координата г, в которой Tp{z) = Q и Sp{z) = Q одинакова (рис.6.2 е и рис.6.2 d). Скачок механических напряжений АГ в слое с координатой z = hj/2 объясняется скачком упругих деформаций Sp и Sjb точке с этой координатой.

Анализ выражений (6.17)-(6.22) показывает следующее.

Очевидно, что деформации и механические напряжения исчезают при и = 0. Знак деформации в слоях БПП зависит от знака U, соответственно и расположение слоев, подверженных растяжению и сжатию, также зависит от знака тфикладываемого электрического напряжения.

Деформации, как в рессоре, так и в ПКП зависят от толщины слоев и соотношения упругих характеристик слоев (податливостей или модулей упругости). Чем меньше податливость ПКП и толщина рессоры, тем больше деформация и соответственно прогиб БПП.

Механические напряжения в БПП зависят от соотношения упругих характеристик слоев (модулей утфугости или податливостей). Они растут с повышением податливости ПКП.

Скачок механических напряжений, возникающий на границе активных и пассивных слоев при подаче электрического напряжения на ПКП, максимален при отсутствии рессоры. Ее наличие как бы сглаживает изменение механического напряжения при переходе от одного активного слоя к другому.

Эти выводы важны с той точки зрения, что позволяют варьировать параметрами БПП, достигая определенньтх целей. Например, практика показывает, что наиболее частая тфичина отказа БПП заключается в отслаивании гфипоя с проводником и малым участком серебряного электрода от ПКП, работающего в вибрационном режиме. Этот дефект возникает из-за механических напряжений на поверхности ПКП. Поэтому с целью повышения надежности электро-онтакта необходимо уменьшить их, желательно до нуля. Это требование соответствует условию