Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 [ 95 ] 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;6.2. Равновесие ферромагнитных тел 291

ствие уменьшения р. В результате нагрузка, действуюш,ая в рассматриваемых областях, окажет малое влияние на деформацию системы. Однако необходимо, чтобы число разрывов /i(M), т. е. гребней, уступов и т. п., было мало по сравнению с h/l. С этой оговоркой далее не будем делать различия между гладкими и кусочно-гладкими поверхностями.

Рассмотрим задачу теории упругости. На близко расположенных поверхностях ферромагнитных тел будут действовать поверхностные силы, плотность которых q может быть найдена из выражения 1/2Я х xV/i предельным переходом к случаю, когда имеются разрывы р. С точностью до старших членов относительно ро/р получаюш,ееся выражение имеет вид

q() = 1роЩп = I

ip{M)-ip4M)

п. (6.2.11)

2 2 [ h{M)-u{M) Это позволяет поставить граничные условия на близко расположенных поверхностях

Рп = q{M)n, = -q{M)n. (6.2.12)

Здесь р, р*- - векторы напряжений на плогцадках с нормалями п и п*. Как указывалось, эти условия ставятся на поверхностях недеформированных тел.

Таким образом, задача магнитоупругости для трехмерных ферромагнитных тел сводится к определению решений линейных уравнений магнитостатики и теории упругости в области, занимаемой недефор-мированными телами, при нелинейных граничных условиях (6.2.9) или (6.2.10) и (6.2.12). Эти условия содержат как перемеш,ения, так и скалярный потенциал или индукцию и напряженность поля, вследствие чего механические и магнитные неизвестные требуется определять совместно.

Ранее были указаны несколько более простые случаи, когда по сравнению с задачей теории упругости появляется только одна дополнительная неизвестная функция ср. Наибольшие же упрогцения достигаются для идеально ферромагнитных тел (когда везде в ферромагнетике можно положить /i = оо). При этом значение будет одним и тем же во всех точках на поверхностях 5 и 5*. Для систем описанной выше конфигурации с одним промежутком между идеально ферромагнитными телами разность if - if с требуемой точностью можно найти сразу; она равна взятой с соответствуюш,им знаком величине полного тока /, охватываюш,его силовые линии поля. В результате получается нелинейная краевая задача для уравнений теории упругости с граничными условиями (6.2.12), где

Глава 6. Задачи нелинейной теории

Если силовые линии ноля пересекают несколько промежутков между телами, то и (/?* будут функционалами от перемещений и{М).

Определяются они следующим образом. Рассмотрим систему с двумя промежутками (рис. 6.1).

На Si положим (р = 0; тогда на 2 будет = /; значение ср на 5i*,52* обозначим (р2. Воспользуемся тем, что с принятой точностью магнитные потоки че-

S2 S2.

Рис. 6.1

рез оба промежутка можно считать одинаковыми. С помощью (6.2.4) получим

С raquo; 2

(Tl + СГ2

СГ1 =

I hi{M

i{M)-ui{My J h2{M)-U2{M)

Si S2

Аналогичные соотногаения можно составить и при больгаем числе промежутков.

Рассмотрим задачи для одно- двумерных тел (стержней, пластин и т.п.). Считаем, что для описания равновесия используется соответствующая техническая теория. Тогда нелинейность войдет в уравнения (а не в граничные условия, как ранее). Приведем сначала несколько примеров, относящихся к равновесию идеально ферромагнитных тел. Первой сформулируем задачу об изгибе ферромагнитной мембраны Рис. 6.2 электромагнитом. Пусть мембра-

на расположена вблизи плоской поверхности ферромагнитного тела (полюса электромагнита, рис. 6.2); саму мембрану можно считать вторым полюсом. Предполагается, что все линии индукции охватываются одним и тем же полным током / и замыкаются, как показано на рис. 6.2, проходя через промежуток между мембраной и полюсом, затем по мембране к ее краю и далее по некоторому ферромагнитному телу (магнитопроводу) обратно к полюсу. Все перечисленные тела считаются идеально ферромагнитными. Тогда нагрузка на единицу площади мембраны определяется выражением (6.2.10). Уравнение равновесия и

(6.2.14)

Ai;+ =0, v\ = 0, (6.2.16)

sect;6.2. Равновесие ферромагнитных тел 293

граничное условие имеют вид:

здесь и - перемегцение, Т - натяжение на единицу длины, h - расстояние между полюсом и недеформированной мембраной, Г - контур мембраны. Положим v = u/h, н? = fiP/2Th и введем безразмерные координаты, получающиеся умножением соответствующей размерной координаты на к.. Придем к краевой задаче

(1 vf

где оператор Лапласа и контур 7 соответствуют плоскости безразмерных координат. Таким образом, при заданной форме Г данная задача - однопараметрическая, причем в (6.2.16) параметром служит размер контура 7.

Далее будут рассмотрены осесимметричные формы равновесия круглой мембраны. Они описываются уравнением

р dp

где w = l - V. Краевые условия в этом случае имеют вид w{kR) = 1, г(;(0) - ограничено (Л - радиус мембраны). Уравнение (6.2.17) представляет собой неизученную разновидность уравнения Эмдена-Фаулера (подробный анализ уравнения такого типа будет проведен в sect; 6.9). Одномерный аналог задачи (6.2.16)

V + -2 = О (0) = (0 = О (6.2.18)

описывает равновесие ферромагнитной струны-полоски, т.е. натянутой гибкой ленты, ширина которой b много меньше длины I, но много больше первоначального расстояния между струной и магнитом h и перемещений и. Струна включается в магнитную цепь согласно рис. 6.2. В (6.2.18) точка означает дифференцирование ио t,v = = v{r), т = кх, X - координата, отсчитываемая вдоль струны, = = роЬР/2Th, Т - натяжение струны.

Если примыкающая к мембране или струне поверхность магнита неплоская, то вместо (6.2.15) и (6.2.18) получим уравнения

где f = h/ho - известная функция координат, ho - некоторая постоянная.