www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
258 Глава 5. Заряснсенная частица
из условия ограниченности Si как функции t получаем
/Ci = 1/2 . р2 + 1/4 . (Е? + Е). (5.2.27)
Затем квадратурой найдется Si:
Si =р(Е2 sint + El cost) - EiE2Cos2t- (E -Ej)sin2t. (5.2.28)
Возникаюгцая при интегрировании произвольная функция , р выбрана так, чтобы среднее значение Si было равно нулю. Во втором приближении
/С2 = 1/2 . p[(EiV)E2 - (E2V)Ei]. (5.2.29)
Сопоставив уравнения Гамильтона с гамильтонианом sKi + г/С2, получим
i = sp + sVb
р = -гУФ - у {pV)[(EiV)E2 - (E2V)Ei]+ (5.2.30)
+р X [V X ((EiV)E2 - (E2V)Ei)]}.
Обращает на себя внимание совпадение члена порядка в первом уравнении (5.2.30) с дрейфовой поправкой к скорости, полученной при выводе (5.2.18). Уравнения (5.2.30) имеют очевидный интеграл slCi + + г/С2 = const. Однако физически интерпретировать систему, описываемую этими уравнениями, затруднительно.
В частном случае, рассмотренном в [59], когда Е2 = О, будет /С2 = О и необходимо вычислить следующее приближение
+ (EiV)(pV(pEi) - EiV(E2ve2)+ (5.2.31)
+ J((EiV)2e2-((EiV)Ei)VE2).
Вообще представляется, что в задачах рассматриваемого типа наиболее рациональными являются две изложенные выше процедуры усреднения, приводящие либо к уравнениям движения материальной точки, либо к гамильтоновым уравнениям во всех приближениях.
Рассмотрение высших приближений требуется не только для уточнения вычислений по методу усреднения, но может оказаться необходимым и для качественного анализа движения. Это будет в случае, когда потенциал Ф в (5.2.14) не зависит от одной или двух декартовых или криволинейных координат и сила, действующая в направлении этих координат, в первом приближении обращается в нуль. Тогда движение в направлении этих координат можно определить только с помощью высших приближений. Особенно важно здесь вычислить дрейфовую поправку к скорости cpi. При этом необходимо рассматривать
sect;5.3. Частица в электромагнитном поле 259
движение на временах порядка или больше, для чего недостаточно обш,их теорем метода усреднения (см. ПЗ).
В рассмотренной задаче имеется один характерный пространственный масштаб порядка длины волны L. По интересны и задачи, где имеется еш,е один суш,ественно больший масштаб порядка L/s, например, при учете медленных изменений амплитуды и фазы высокочастотных колебаний. В таких задачах Ei, Е2 будут функциями г и гг, а для анализа влияния медленного изменения ноля необходимо рассматривать движение на интервале времени порядка
sect; 5.3. Частица в электромагнитном ноле, имеюгцем высокочастотную и постоянную составляюгцие
Рассмотрим [6] движение нерелятивистской заряженной частицы в электромагнитном поле, получаемом наложением высокочастотного электромагнитного ноля на однородное постоянное магнитное поле В. Как известно [57], уравнения движения могут быть записаны как канонические уравнения механики с функцией Гамильтона
n{T,P,t) = -(Р --A{T,t))\ (5.3.1)
2т с
Векторный потенциал А в данном случае можно выбрать в виде
A(r,t) = -(В X г) + -(E2(r)cosa;t-Ei(r)sina;t). (5.3.2)
2 UJ
Введем в (5.3.1), (5.3.2) безразмерные переменные, равные отношениям размерных переменных к их характерным значениям. О выборе характерных значений времени [t], расстояния [L], магнитного [В] и электрического [Е] полей будет сказано далее.
Сохраняя за безразмерными переменными обозначения соответ-ствуюш,их размерных величин, получим безразмерную функцию Гамильтона
1 г г1 12
Я= -Р--В X r + s(E2(r)cosz/t-Ei(r)sinz/t)J , (5.3.3)
где обозначено: (3 = e[B][t]/mc, г = c[E]/uj[L][B], v = uj[t\.
Используя функцию Гамильтона (5.3.3), можно записать канонические уравнения относительно безразмерных координат и импульсов. Однако далее используются другие канонически сопряженные переменные, вводимые как переменные действие-угол для движения в однородном магнитном ноле. Это связано с тем, что высокочастотное поле будет рассматриваться как возмуш,ение к основному постоянному полю. В таких случаях, как и вообш,е при исследовании возмуш,енных гамильтоновых систем, рекомендуется использовать указанные пере-
260 Глава 5. Заряснсенная частица
менные (см., например, [53]). При этом сразу выделяются фазы многочастотной системы, легко вводятся медленные переменные при резонансе и т. д.
Примем за исходные обобщенные координаты декартовы координаты частицы. Перейдем от соответствующих безразмерных переменных ж, у,Рх, Ру к переменным ж, уь { z и Pz не заменяются):
х= -{V2l8mip + XL), Рх = (л/27со8(р-ь),
y = -{V2Icosip + yL), Ру = {-л/21тср + хь)-
(5.3.4)
Эта замена каноническая. Для движения в постоянном магнитном поле В при условии, что ось Z направлена по полю, I, - переменные действие-угол, а новый обобщенный импульс и новая обобщенная координата уь являются координатами пересечения оси траектории (винтовой линии) с плоскостью ху. Движения, при которых возможно равенство / = О (а также, когда / принимает малые или большие значения, см. далее), не рассматриваются.
Выпишем новую функцию Гамильтона исходной задачи, используя преобразования (5.3.4) и считая ось z направленной по В
/С = рВ1 + Р + le\El cos lyt - (Е1Е2) sin2z/t + Ef sin ut)-
-гР[(Е2ез) cosi/t - (Eies) sin
-е\[21\{2\) cos Lp cos vi - (Eiei) cos Lp sin +
+гл/27[(Е2е2) sin(/}cosi/t - (Eie2) sin sin .
(5.3.5)
Здесь ei, 62, ез - орты осей декартовой системы координат, а в функциях El (г), Е2(г) координаты х,у должны быть выражены через новые переменные.
Функция Гамильтона К периодически зависит от (р и ф = vt имеющих, таким образом, смысл фаз.
Предположим, что сила Кулона, создаваемая высокочастотным полем, мала по сравнению с силой Лоренца, действующей на частицу в постоянном магнитном поле, а ларморовская частота при движении в постоянном поле сравнима с частотой переменного поля. При этом следует принять [В] = В, [t] = тс/еВ, тогда = 1, В = ез, а параметр 61. Вместо характерного расстояния [L] удобнее задать характерное значение поперечной скорости vi, тогда [L] = vime/cB.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |