Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [ 83 ] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;5.2. Высокочастотное поле 255

Придем к системе в стандартной форме f = г(и + El sin t - Е2 cos t),

u = s[{u + El sin t - E2 cos t) X (Hi cos t + H2 sin t) + + ((u + El sint - E2 cost)V)(E2 cost - Ei sint)]--г (u + El sin t - E2 cos t) [(u + Ei sin t - E2 cos t) x

(5.2.9)

X [(u + El sin t - E2 cos t) (El cos t + E2 sin t)] -

- s(u + El sin t - E2 cos t)(El cos t + E2 sin t).

В соответствии с методом усреднения введем эволюционные составляющие , т] переменных г, и соотношениями

г = + svi (, ту, t) + гV2 (, ту, t) + ...,

u = ту + sui(,Ty,t) +г U2(,Ty,t) + ... .

Осциллирующие члены ui, vi и т.д. в разложениях (5.2.10), определяемые с точностью до произвольных функций переменных , ту, будем выбирать так, чтобы эволюционные уравнения имели вид уравнений движения материальной точки под действием некоторых эффективных сил. Иначе говоря, будем строить для , ту уравнения вида

= ету, ту = sFi(,Ty) +г2Е2(,ту). (5.2.11)

Подставляя (5.2.10) в (5.2.9), для функций ui,vi получим уравнения

= El sin t - Е2 cos t, Fl + = (ту + El sin t - E2 cos t) x at oi

X (Hi cos t + H2 sin t) - ((ту + El sin t - E2 cos t) V) x

x(Ei sint - E2 cost).

(5.2.12)

Из условия ограниченности ui как функции t определяется Fi:

Fl = i[Ei X H2 - E2 X Hi - (EiV)Ei - (E2V)E2]. (5.2.13)

С помощью закона индукции (5.2.7) выражение (5.2.13) преобразуется к виду

Fl = -УФ, Ф = hEl + El), (5.2.14)

совпадающему с известным выражением для средней силы в первом приближении [59].

256 Глава 5. Заряэюенная частица

В (5.2.13) и далее символ V означает дифференцирование но и используется закон индукции в виде V х Ei() = -Н2(). При этом в отличие от [59] не требуется разлагать выражение (5.2.7) по степеням г.

Далее из (5.2.12) найдутся ui, vi:

Vl = -(El cost + E2 sint),

(5.2.15)

ui = J] X (Hi sint - H2 cost) + (7yV)(Ei cost + E2 sint)-

-i[Ei X Hi -E2 X H2 - (E2V)Ei + (EiV)E2]cos2t-4

-i[Ei X H2 + E2 X Hi - (EiV)Ei + (E2V)E2]sin2t + (pi(,7y).

Здесь cpi - пока произвольная функция , ту. Аналогичное слагаемое можно ввести и в vi, однако это не дает упрощений, поэтому функция Vl выбирается так, чтобы было равно нулю ее среднее значение. Рассмотрим члены порядка в первом уравнении (5.2.9)

= (/yV)(Ei cost + E2 sint) - ((El cost + E2 sint)V)x

x(Eisint-E2Cost) +ui. (5.2.16)

Обычно в методе усреднения из условия ограниченности V2 как функции t после усреднения (5.2.16) определяется второй член в первом уравнении типа (5.2.11). Однако в данной задаче этот член можно обратить в нуль следующим выбором дрейфовой поправки ifi к скорости:

(1 = [(E2V)Ei - (EiV)E2]. (5.2.17)

Из членов порядка во втором уравнении (5.2.9) находится коэффициент F2(,/y) в (5.2.11). Окончательно уравнения второго приближения будут

Р 1 (5.2.18)

= УФ - е-[г] X (Hi X Н2 - (EiV)Hi - (E2V)H2)-

41: Z

-Hi X ((7yV)Ei) - H2 X ((7yV)E2) - ((/y X Hi)V)Ei-

-((/y X H2V)E2 + (7yV)((EiV)E2 - (E2V)Ei) +

+ (E2V)((7yV)Ei) - (EiV)((7yV)E2)]. В рассмотренном в [59] случае Е2 = О, Hi = О будет F2 = О (этот результат отличен от полученного в [59]). В этом случае необходимо вычислить еще одно приближение.

При выводе эволюционных уравнений (5.2.18) произвольная функция Lfi медленных переменных выбиралась так, чтобы эти уравнения

sect;5.2. Высокочастотное поле 257

имели вид уравнений движения материальной точки. Того же можно добиться во всех приближениях. Это позволяет интерпретировать правую часть второго уравнения (5.2.18) как некоторую эффективную силу, что облегчает физический анализ возможных движений. Однако аналитическое исследование полученных уравнений затрудняется тем, что действуюгцие на точку силы являются обгцего вида функции обобгценных координат и скоростей. Поэтому полезно рассмотреть другой способ выбора указанных произвольных функций, приводящий к каноническим уравнениям. При этом удобнее исходить не из уравнений (5.2.1), а из эквивалентных им канонических уравнений. Функцию Гамильтона в данном случае удобно взять в виде

П = у/ш2с4 + с2(Р - А)2 - шc (5.2.19)

отличающемся от обычно используемого гамильтониана (см., например, [58]) постоянным слагаемым вне радикала.

В (5.2.19) Р - обобщенный импульс; А - векторный потенциал; скалярный потенциал принят равным нулю. При этом

ccj А(г, t) = Ез (г) cos cot - Ei (г) sin cot. (5.2.20)

Преобразуя функцию Гамильтона к безразмерным переменным, получим

П = 1/г- л/1 + г2( А)2 1/ (5.2.21)

где тг - безразмерный обобщенный импульс. За безразмерным векторным потенциалом сохранено прежнее обозначение.

Будем искать каноническую замену от переменных г, тг к переменным , р

= дЗ{т, р, t)/dp, тг = дЗ{т, р, t)/ar, (5.2.22)

где производящая функция имеет вид асимптотического разложения 5 = гр + sSi (г, р, t) + ... . (5.2.23)

При этом новый гамильтониан /С связан с производящей функцией S соотношением

]С = П + dS/dt. (5.2.24)

Поправки 5i,52,... к производящей функции будем выбирать так, чтобы новый гамильтониан не зависел явно от времени. Новый гамильтониан /С также ищем в виде асимптотического разложения

/С = s/Ci (, р) + г1С2 (, р) + ... . (5.2.25)

Подставляя (5.2.21), (5.2.23), (5.2.25) в (5.2.24), с учетом (5.2.22) в первом приближении будем иметь

dSi/dt + 1/2 . (р - А)2 = /Сь (5.2.26)