Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;1.3. Устойчивость стационарных двиэюений систем 27

ростях

п - т s=l

+Crs{h, u)C,s] =0 (r = 1,..., n - m), (1.3.6)

не удовлетворяет одновременно m условиям

[cirm+s{u)Cus + 9rm+s{h, u)Cvs\ =0 (г = 1, . . . , ш). (1.3.7)

Тогда соответствующее решение (1.3.2) неустойчиво.

Действительно, предположим, что оно устойчиво. Из соотношения dHldt = -2F, (1.3.8)

Я* = Ti (IX, /)) + t/(lX, 7), С) + Т2 (IX, С) + П* (IX, С),

m п-т

следует, что в устойчивом движении f]i{t)... Am{t) таковы, что при t 00 ограничен интеграл

F4T)dT.

Покажем, что в данном случае система (1.3.4) не может иметь только решения, удовлетворяющие условию rjrXr О при t оо. Действительно, выберем начальные условия так, чтобы было lt; О- Согласно (1.3.8) Я* lt; Я*о при всех t. По если rjrXr О, то Я* О, что противоречит требованию Я* lt; Я*о.

Таким образом, система (1.3.4) должна иметь частное решение, в котором (s = Zs cos (At -\- i)s) и HO крайней мере часть Zs отлична от нуля, а таковы, что интеграл от F*(t) ограничен при t оо. Рассмотрим вторую сумму в одном из первых т уравнений (1.3.4). Она представляет собой линейную форму (sjCs и при (g указанного вида обращается либо тождественно в нуль, либо в функцию Zr cos(At + 79). Тот же вид будет иметь и первая сумма в рассматриваемом уравнении. По эта сумма есть линейная форма rjsAs- Следовательно, если обе суммы не обращаются в нуль тождественно, то по крайней мере одна из функций должна содержать слагаемое вида cos(At + 7). По при 77s такого вида и положительно-определенной \\brs\\ интеграл от F* не будет ограниченным. Поэтому в устойчивом движении все 2т указанных сумм должны быть тождественно равными нулю.

28 Глава 1. Описание электромеханических систем

Тем же путем найдем, что должна быть тождественно равной нулю каждая из 2(п - ш) сумм во второй группе уравнений (1.3.4). В результате получилось, что в рассматриваемом решении (г удовлетворяют как уравнениям (1.3.6), так и условиям (1.3.7). Но это невозможно по предположению. Следовательно, система (1.3.4) не может иметь только решения, когда интеграл от F*(t) ограничен, а (г ограничены или стремятся к нулю при t - gt;- оо; этим показана неустойчивость.

Равенства (1.3.7) отвечают случаям, когда часть неизвестных в (1.3.4) находится независимо от остальных. Нри этом неустойчивость позиционной подсистемы, как и ранее, влечет неустойчивость полной системы (1.3.4), но при временной устойчивости позиционной подсистемы может быть как устойчивость, так и неустойчивость.

Пусть позиционная подсистема при постоянных квазициклических скоростях неустойчива. Если условиям (1.3.7) удовлетворяет неограниченное решение С, то система (1.3.4) будет иметь неограниченное решение вида rj = О, С = Ci, что означает неустойчивость. Допустим, что условиям (1.3.7) удовлетворяет некоторое количество ограниченных решений С,Сд и т.д. Решения вида fj = О, С = CuXii--- будут частными решениями системы (1.3.4). Рассмотрим совокупность ее решений, линейно-независимых от этих решений. Для них справедливо предыдуш,ее доказательство неустойчивости.

При временной устойчивости позиционной подсистемы возможен следуюш,ий случай. Рассмотрим частные решения (jy, удовлетворяю-ш,ие требованию, чтобы при некоторых t выполнялось неравенство Т2{Си) + *{Ci) lt; 0. Допустим, что все такие (i, удовлетворяют условиям (1.3.7). Тогда для любого решения т), ( системы (1.3.4), линейно-независимого от всех решений т) = О, С = С/? будет выполняться неравенство Я*(/7, СХ) gt; О при всех t, и предыдуш,ее доказательство неустойчивости оказывается несправедливым. В этом (и только в этом) случае временная устойчивость может сохраняться для полной системы (1.3.4). Тривиальный пример сохранения временной устойчивости доставляет случай, когда все asm+r, 9sm+r равны нулю и система (1.3.4) распадается на две несвязанные подсистемы.

Если позиционная подсистема при неварьируемых квазициклических скоростях обладает вековой устойчивостью, то решение (1.3.2) устойчиво.

Действительно, рассмотрим систему, колебания которой описываются уравнениями возмуш,енного движения. Для нее справедливо энергетическое соотношение

dHildt = -2Fi,

(1.3.9)

Я*1 =Я*+Я*2(/7,С,С), =F*+F*2(/7),

sect;1.3. Устойчивость стационарных двиэюений систем 29

причем разложение 2* по степеням их аргументов начинаются с членов порядка большего двух. Поэтому при достаточно малых по модулю значениях аргументов будет положительно-определенной, а ее производная по времени, взятая в силу уравнений возмуш,енного движения, не будет положительной.

Если gm+rm+s Qm+sm+r = О, Г, s = 1,..., п - ш, нанримср, В Случае гироскопически несвязанной системы при t/ = О, уравнения малых колебаний позиционной подсистемы при постоянных квазициклических скоростях не содержат гироскопических членов и временная устойчивость невозможна. В этом случае устойчивость стационарных движений однозначно определяется свойствами равновесия и не зависит от того, учитывается ли диссипация по позиционным координатам. В обш,ем случае свойствами равновесия (и независимо от диссипации в позиционной подсистеме) определяются неустойчивость и вековая устойчивость. По и в этом случае суждение об устойчивости будет однозначным, если учесть диссипативные силы, отвечаюш,ие позиционным координатам.

Важным примером систем рассмотренного класса служат электромеханические системы с замкнутыми токами проводимости (т. е. не со-держаш,ие емкостей, а также скользяш,их контактов). Такие системы во многих случаях достаточно точно описываются в квазистационарном приближении. Если, кроме того, можно считать, что размеры поперечных сечений проводников малы по сравнению с их длиной, а активные сопротивления не зависят от перемеш,ений, то система будет иметь кинетический потенциал и диссипативную функцию указанного вида. При этом роль квазициклических координат играют заряды, скоростей - токи, постоянные laquo;квазициклические raquo; обобгценные силы суть внешние ЭДС, а диссипация по квазициклическим координатам обусловливается активными сопротивлениями проводников; позиционными же являются механические обобгценные координаты. Слагаемому Ti в выражении кинетической энергии теперь соответствует энергия магнитного поля, а ее производные по qm+r определяют пондеромо-торные силы. Слагаемого U выражение для Т обычно не содержит.

Стационарному решению в случае электромеханической системы соответствуют постоянные значения токов и механическое равновесие под действием постоянного магнитного поля. Полученные результаты позволяют в этом случае игнорировать laquo;электрические raquo; степени свободы, в частности не интересоваться электрической схемой, способом питания и т. п. Они позволяют также судить об устойчивости по зависимостям форм равновесия от токов с помош,ью теории бифуркаций Пуанкаре.