www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
192 Глава 3. Периодические решения в задачах
Если Т* = О и хотя бы одно Ucs 7 О, то в данном случае вообще нет решений рассматриваемого тина. Если же все Ucs = О, то приходим к особому случаю метода малого параметра {Рг = 0), в котором требуется рассматривать члены порядка /i в искомых решениях.
2. Порождающая система с постоянными коэффициентами. Уравнения с постоянными коэффициентами получаются, если Djrs - = const, Dm-\-rm-\-s = coHst, a A - линейпыс формы позиционных координат. Позиционные координаты в порождающем приближении определяются в этом случае из решения задачи о вынужденных колебаниях линейной системы под действием сил, выражаемых известными функциями времени и параметров laquo;1,..., am-
Пусть выражение для кинетической энергии системы с квазициклическими координатами не содержит произведений квазициклических и позиционных скоростей (их билинейная форма U = 0). Если при этом выражение для Ti можно записать так, чтобы оно содержало параметры обратного влияния, т. е. в форме инвариантной относительно вида колебательной системы, то уравнения для определения параметров порождающего решения и условия устойчивости можно, соответственно записать так, чтобы они содержали как параметры гармонические коэффициенты влияния колебательной системы.
Представим выражение для кинетического потенциала Рауса Lr через функционалы обратного влияния
т к
Lr = L2{v,v)-- {Ars + Y.r}i)prPs = -at,. (3.5.6)
r,s=l j=l
Сохраняя предположения sect;3.1, запишем уравнения Рауса
Ps - pPs-g = Us{t) + pUcs, S = l,...,n.
(3.5.7)
Mv -\- Bi) -\- Cv = QiVi
Вынуждающие силы Qi определятся соотношениями
Qi = -i;Yl rhrPs- (3.5.
в порождающем приближении имеем
Pso=as + Vs{t), Vs = Us, {Vs) = 0,
m
r,s=l
(3.5.9)
?3.5. Уравнения Рауса
Зная Qio, можно выписать выражения для
к т
= Е Е г} [4* +
i r,s
+2 J2 1 (rVsu cos(i/wi - 1?, - ф1 )] + .i, j = l,...,k.
(3.5.10)
Обозначения здесь соответствуют равенствам
Vrs = Vl + J2 (cos iut - ), (3.5.11)
-i к m
= -2 E E E cos(i/a;i - г?!: - Vl*)-
i и,ифО r,s
Следовательно, суть части j, не зависящие от ai,..., а, и такие, что (*,) = 0.
Внеся из (3.5.10) в соотношения
qr = -
= EK + E-J laquo; (3.5.12)
s=l i
И осредняя, получим уравнения для определения laquo;1,..., am
Pr{ai,. . .,ат) = Y rsuzOisOiuOiz + laquo; laquo;5 - = О,
r = l,...,m. (3.5.13)
Здесь
E E E A(i)A}VuЛ.г,к(J cos( , - - 0;:f),
m к
er = icr -YYrsHjVs), icr = UcrlPr.
s j
(3.5.14)
Зависимости ar{K, Ф) можно найти или проанализировать достаточно просто лишь в частных случаях, например, при к,т = 1,2. Вообще же
194 Глава 3. Периодические решения в задачах
laquo;1,... нужно определять из уравнений (3.5.13), в которые внесены уже конкретные значения К, Ф. При этом последующее вычисление laquo;1,..., am упростится, если справедлив интегральный критерий. Пайдем достаточные условия его существования. Составим производные
- {cirsuz ~1~ CLrusz ~1~ CLruzs)Ck,uCz ~1~ CLrs- (3.5.15)
Из соотногаений к = к и очевидных равенств = AAsr следует,
что коэффициенты arsuz не изменятся, если поменять местами крайние или средние индексы, а также, если одновременно переставить индексы в первой и второй парах. Действительно,
1
= --А4]л4А: =а, . (3.5.16)
Поэтому arsuz = cirusz, т. е. первые два коэффициента под знаком суммы в (3.5.15) равны. Поменяем в (3.5.15) индексы г и s местами. Третий коэффициент под знаком суммы от этого не изменится. Кроме того,
asruzOiuOiz = aaszuOiuOiz = arsuzOiuOiz- (3.5.17)
uz u,z u,z
Следовательно, не изменится и вся сумма в (3.5.15). Тем же свойством обладают и первые два члена в выражении для а. Для последнего же члена, пользуясь взаимностью гармонических коэффициентов влияния и фаз гр и переставляя соответствующим образом индексы i,j,u,z, получим
к т
iJ u,z ииО
xki [cosiuu - zv - Ф) - cos(i9 -- ф;)]. (3.5.18)
Следовательно, ars = CLsr, если duv = zv, u, z = 1,... ,m. Таким образом, равенства dPr/das = dPs/dar выполняются в случае, когда отвечающие квазициклическим координатам обобщенные силы покомпонентно синфазные. При этом Рг = дА/даг, т.е. условие покомпонентной синфазности является достаточным условием существования интегрального критерия. Другим достаточным условием будет ф, = О, выполняющееся, когда все обобщенные силы по позиционным координатам потенциальные. Силы Us{t) при этом не обязаны быть покомпонентно синфазными.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |