Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [ 46 ] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

144 Глава 2. Динамика электрических машин

ление Ф/, исключив if. Выразим из (2.12.9) ток

if = - gi. (2.12.13)

Подставив (2.12.13) в (2.12.12) придем к уравнениям

+ (Ф/ - gi) = (2.12.14)

и = -gi{4ff - gi) + -ш.

со со

Будем рассматривать решения уравнений (2.12.14), найденные в первом приближении, т. е. приближенные решения, содержаш,ие только немалые члены и не содержаш,ие членов, пропорциональных Sfe и их степеням. Среди решений (2.12.14) особый интерес представляет стационарное решение. В первом приближении оно таково, что Ф/ = = const, CJ = const, а г - 27г-периодическое решение уравнения

(1 + / - g)i\ + -i = -gf. (2.12.15)

Это решение содержит CJ,Ф/ в качестве параметров и может быть представлено в виде г((/?,cJ,Ф/) = Ф/j((/?,cJ).

Заменим в (2.12.15) аргумент ср ядь ср - тг. Учитывая, что д{(р - 7г) = = -д{ср), получим уравнение:

(1 + / - g)i{ip - 7г)]Ч -i{ip - тг) = gf. (2.12.16)

Сложим (2.12.15) и (2.12.16). Это дает

(1 + / - g){i{ip) + i{ip - 7г))1 + - Ш) + i{ip - 7г)1 = 0. (2.12.17)

В (2.12.17) нужно найти 27г-периодическое решение, но (2.12.17) - линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно суммы i{ip) -\-i{ip - тг). Легко показать, например, найдя точное решение уравнения (2.12.17), что его единственным асимптотически устойчивым периодическим решением будет i{(p) -\-i{(p - тг) =0. Тем самым показано, что в стационарном режиме ток i{(p) не содержит постоянной составляюш,ей (впрочем, это очевидно) и четных гармоник по ср.

Рассмотрим нестационарные решения системы (2.12.14). В соответствии с асимптотическими методами разделения движений эти решения в первом приближении определяются следуюгцим образом. Вначале нужно найти обгцее решение уравнения (2.12.15), считая при этом, как и при определении стационарного режима, Ф/ = const, cj = const. Получим теперь уже непериодическую по функцию i{ip, С, cj, Ф/), со-держаш,ую произвольную постоянную С и величины cj, Ф/, входяш,ие

sect;2.12. Уравнения электромеханических процессов 145

как параметры. Затем этот результат следует внести в два последних уравнения (2.12.14), после чего заменить все члены этих уравнений, кроме и со их средними значениями по ср. Под средним значением некоторой непериодической функции F{(p) понимается выражение

(F((p)) = lim i / F{ip)dip,

Too 1 J

Часть обгцего регаения уравнения (2.12.15), содержагцая постоянную интегрирования и экспоненциально затухающие члены, не дает вклада при усреднении. Поэтому для определения Ф/ и cj в первом приближении достаточно внести в последние уравнения (2.12.14) выражение i = Ф/((/?,с), соответствующее стационарному решению. При этом усредняемые члены в (2.12.14) будут 27г-периодическими функциями ср и их средние значения следует вычислять как средние за период. В результате получим уравнения медленных нестационарных процессов:

е ш (2.12.18)

ио ио

Эти уравнения существенно проще исходных уравнений (2.12.14), поскольку содержат на одну неизвестную меньше и в них не входит явно аргумент (р.

При включении машины на нагрузку, подключении добавочной нагрузки и т. п. полный нестационарный процесс состоит из двух этапов. Вначале происходит (с характерной постоянной времени 1/пП*) экспоненциальное изменение тока якоря до выхода его на стационарное решение Ф/oJ (50)5 соответствующее начальным значениям потока возбуждения Ф/о и угловой скорости loq. в первом приближении Ф/ и CJ за это время не изменяются. Затем они медленно (с характерной постоянной времени 1/(г/г/пП*) или 1/{еспП)) изменяются в соответствии с уравнениями медленных нестационарных процессов. Ток якоря i при этом в первом приближении соответствует соотношению i = Ф/((/?,с), т.е. изменяется как в стационарном режиме с медленно меняющимися параметрами.

После того как переменные г, Ф/ определены, с помощью (2.12.13) можно найти ток возбуждения if. Пз (2.12.13) видно, что даже в стационарном режиме if имеет переменную составляющую, немалую в том смысле, что ее значение не пропорционально Sfsj (впрочем, этот факт известен [34, 36)].

Расчет онисанного выше быстрого экспоненциально-затухающего переходного процесса, заканчивающегося менее чем за один оборот ро-

Глава 2. Динамика электрических машин

тора, обычно интереса не представляет. Поэтому исследование динамики рассматриваемых машин при заданных форме зубцов и проводи-мостях gi {(р),д2() требует решения двух задач. Первая - определение периодического тока i из уравнения (2.12.15) в виде i = 4ffj{(p,uj) как функции угла ср и величин Ф/,С(;, входягцих как параметры. Вторая задача состоит в определении средних значений, входягцих в правые части уравнений (2.12.18), и интегрировании этих уравнений, что позволяет найти Ф/ и CJ.

Вычислить периодическое решение уравнения (2.12.15) можно разными способами. Прежде всего оно интегрируется в квадратурах. Определив входяш,ую в обш,ее решение постоянную из условий периодичности, получим

i{) =

/ 2f Л (О \ 1 /9{Ф)р{Ф - )# 1-9{ч) [/(27г) - 1 J о

+ j д\ф)р{ф-)аф

li{if) = ехр

.ojj 1

+ 1-94V)

(2.12.19)

(2.12.20)

Другой способ определения периодического решения уравнения (2.12.15) - нахождение коэффициентов нескольких первых гармоник фурье-разложения тока г. При заданной д{ср) это сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Трудность в том, что коэффициенты следует находить как функции cj. Могут оказаться полезными и способы решения уравнения (2.12.15), основанные на том, что переменная составляюш,ая в выражении относительно слабо влияет на ток. Укажем один такой способ в первом приближении. Ток i представляется суммой io + Ai, где io и Ai определяются как периодические решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(l + /-(2))Ai + -Ai = Aio,

(2.12.21)

где Ag = g - {g) - переменная часть g.

Пока речь шла о решении уравнения (2.12.15). По даже для определения стационарного режима с соответствуюш,ими ему значениями Ф/ и CJ необходимо обратиться к уравнениям (2.12.18). В стационарном