Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

84 Глава 2. Динамика электрических машин

зовых переменных, которая в силу соотношения (2.4.6) может только убывать, следовательно, для любых начальных S движения ограничены. Повторяя далее рассуждения, использованные при доказательстве дихотомии, получим, что любое движение в этом случае стремится к положению равновесия, т. е. система обладает глобальной асимптотической устойчивостью.

Пусть среднее значение т положительно. Покажем в дополнение к [30], что система (2.4.3) допускает неограниченные решения, в которых достигаются сколь угодно большие значения J оо. Используем неравенство

m gt;S{to)-c{t-to), (2.4.7)

которое легко получается из третьего уравнения (2.4.3) после интегрирования. Суш,ественно, что константа с gt; О в (2.4.7) не зависит от начального значения S{to). Из (2.4.7) следует, что выбирая достаточно большое значение (5(to), можно добиться, чтобы было j(t) gt; s*, где - любое заданное число на любом промежутке to lt; t lt; ti. Выберем tl таким, чтобы (5(ti) = (5о + 27Г, 5о = (5(to) (кстати разность ti - to тем меньше, чем больше S{to)) и перейдем в (2.4.3) к аргументу 5 вместо времени t. Первое уравнение (2.4.3) имеет вид

Здесь обозначено S = s. Интегрируя аналогичное уравнение, содержа-ш,ее Ikj получим

If (6) = /;(to) + {cos So -cos8)--f j di,

So 6

h{S) = 4(to) + (sin(5o - sin(5) - I

(2.4.9)

Подставим (2.4.9) в уравнение, получаюш,ееся из третьего уравнения (2.4.3) после замены аргумента и интегрируя по 5, придем к соотношению

ф\5о + 27г) - s\S)] = I m{Od+

2.4. Качания ротора 85

Выбирая достаточно большое значение sq = S{to)j можно добиться того, чтобы сумма двух последних членов в (2.4.10) была меньше первого члена. При этом будет s{5o + 27г) gt; s{5o). Повторяя рассуждение для промежутка (5о + 27г lt; (5 lt; (5о + 47г и т.д., получим, что s{5) и 5{t) при принятом начальном условии неограничены. Интересно, что это возможно при сколь угодно малых средних значениях т.

Сделанный вывод основан на том, что члены в (2.4.9), не содер-жаш,ие S в знаменателе, не дают вклада в прираш,ение s за период изменения S. Последнее же является, по суш,еству, следствием лагран-жевой структуры уравнений (2.4.3) и того, что члены, связываюш,ие уравнение движения и уравнения для токов, гироскопические.

Рассмотренные движения не может совершать маятник под действием внешнего момента и момента трения, пропорционального угловой скорости. Это указывает, что действие магнитоэлектрических гасителей на враш,ательном движении laquo;слабее raquo;, чем сил вязкого трения.

Сказанное без оговорок относится к маятнику с гасителями. По для электрических машин нужно учесть егце, что уравнения (2.4.3) получаются с помош,ью асимптотического метода и справедливы лишь при достаточно малых скольжениях; этот факт надо учитывать также при использовании результатов, приведенных в [30].

Отметим, что если учесть в уравнении враш,ения механическую диссипацию, считая, например, что статическая характеристика турбины в окрестности синхронной частоты имеет вид т{5) = шо - PS, где gt; О, то неограниченное нарастание 5 становится невозможным. Это легко показать, используя энергетическое соотношение, которое при учете механического демпфирования приобретает вид

h{Ij + ll) + liS + (1 - cos(5)1*= -(г/ Ij + rk ll) + moS -

(2.4.11)

Пеограниченные движения по 5 (им отвечают враш,ения маятника с нарастаюш,ей угловой скоростью) невозможны, поскольку при достаточно больших 5 правая часть (2.3.11) становится отрицательной и следовательно неотрицательная функция под знаком производной не может далее возрастать. А неограниченное возрастание этой функции в силу ограниченности токов , Ik возможно только при неограниченном росте 5.

Как показали численные расчеты, при определенных соотношениях между внешним моментом т и коэффициентом демпфирования Р неограниченные по углу 5 движения, реализуемые при достаточно больших начальных скольжениях, стремятся к периодическому дви-

86 Глава 2. Динамика электрических машин

жению по j с постоянным средним за период скольжением J gt; О (при шо gt; 0), что для синхронной машины эквивалентно асинхронному ходу.

Анализ враш,ательных (ротационных) движений эквивалентного маятника проведем на основе метода гармонического баланса. Для выделения основных независимых параметров задачи перейдем к новому времени и току, вводя новые базисные значения из соотношения: / =

= hi/Tj, т = г/Г* = Пг, 1/Г* = J-. Учитывая необходимость су-ш,ествования синхронного движения, обозначим безразмерный момент = sin (5* lt; 1. В результате система уравнений (2.4.3) перепишется в виде

- jSsin S + fflf = 0, ik - jS cos S + fkh = 0,

(2.4.12)

S -\-j{If sin S -\- Ik cos S) + sin (5 = sin ,

где ff = VfT/l, fk = TkT/l. Перейдя в (2.4.12) к независимой переменной S, получим

- juo sin S + fflf = О, - juo cos S + fkh = 0,

dd dd 2.4.13)

+ 7( sin S -\- Ik cos S) + sin (5 = sin (5*.

Ротационные решения уравнений (2.4.13) приближенно будем разыскивать в виде

= cjo + sin (5 + ас cos If = o + Ifs sin S + c cos (5,

h = 4o + 4s sin (5 + 4c cos S.

(2.4.14)

После подстановки (2.4.14) в (2.4.13), сбалансировав постоянные и гармонические слагаемые, приходим к системе линейных уравнений относительно коэффициентов разложений (2.4.14)*)

Uolfs + rife = О, -UJoIfc + rifs = 70,

f o - аД/с + c . - 7 laquo;s = 0, (2.4.15)

ohs + rikc = 70, -o4c + / 4 = 0, / o + aJks - cishc - ]pac = 0, + 74c = sin (5*, acjo + 70 = 0, -auJo + 7/0 = -1.

*) Далее рассматривается наиболее простой случай г/ = fk = г.