Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;1.4. Двиэюения электромеханических систем

жет быть, механических координат. Тогда можно положить ii =i,..., ii = gi первообразные от остальных т - I токов по-прежнему не войдут в уравнения Лагранжа-Максвелла. Уравнения Лагранжа-Максвелла для электромеханических систем с конденсаторами имеют вид

дЕ дд,

d дТ д{Т-Л- Е) dW

dt dqk

- е sect;, s - 1,...,

s = / + 1,..., Ш, = Qk, k = l,...,n.

(1.4.13)

Полная энергия системы Н = W -\-Т -\-И-\- Е, как и ранее, удовлетворяет соотношению (1.4.10). Ограниченным сейчас следует считать движение, в котором механические координаты, скорости, токи и заряды gi,...,gi изменяются при to в ограниченной области. В таком движении функция

V = H- J2 sOs

(1.4.14)

s=l-\-l

будет ограниченной.

Здесь стационарные значения токов го определяются из системы

Е PskUkiho) = es, s = / + l,...,m,

(1.4.15)

ho = E Pskiso, k = l,...,N.

s=l-\-l

Остальные токи го, = 1,..., равны нулю.

Дифференцируя обе части (1.4.14) и заменяя Ф, s = / + 1,..., ш, из (1.4.13), а е, S = / + 1,..., ш, из (1.4.15), получим

IN ш N

= + Е s-Y.PkUk{Ik) is+ es-Y,PskUk{Ik)

s=l-\-l

k=l I N

s=l+l k=l s=l s=l k=l

m r TV TV

+ 5] (-.o) Y.fMho)-Y.f3skUk{Ik)

s=l-\-l k=l

. (1.4.16)

Глава 1. Описание электромеханических систем

Прибавим и отнимем в правой части выражения (1.4.16) величину

T/isYl PskUkiho)- Получим

s=l к=1

У = Р + е,, + г, t/, (4о) - Е {h)

s=l s=l к=1 к=1

т г N N -

+ Е (-.о) Y.Mho)-Y.PskUk{Ik) -

s=l+l к=1 к=1

IN I т

- Е Е (о) = + Е 3 + Е( о) X

s=l к=1 s=l s=l

г- N N I N

X Y.Mho)-Y.PskUk{Ik) -Y.gsY.PskUk{Iko) =

-к=1 к=1 s=l к=1

I I N

= P + K + Y1 s9s - ЕЕ fskUkilko) (1.4.17)

Введя функцию

1 = - Е + Е Е Е fskUkiho),

s=l к=1

s=l s=l k=l

перепишем (1.4.17) в виде Vi = P -\- К.

Тем же путем, что и ранее, придем к выводу, что Р О, К О при t 00 и ограниченные движения являются либо стационарными, либо стремятся к ним. Если же решений уравнений (1.4.15) не сугцествует, то не сугцествует стационарных и ограниченных движений.

Если же vr, Т, П, Qi,..., Qn являются ограниченными, например, непрерывно-периодическими функциями некоторых механических координат, то тем же путем показывается, что не суш,ествуют движения, в которых эти координаты неограниченно возрастают или убывают, а соответствуюш,ие обобш,енные скорости ограничены и не стремятся к нулю при t 00. Поэтому не суш,ествует незатухаюш,их враш,ательных движений с ограниченными угловыми скоростями. Это, в частности, дает доказательство нереализуемости бесколлекторного двигателя постоянного тока.

Полученные результаты очевидным образом распространяются на чисто механические системы с квазициклическими координатами, в которых позиционным координатам отвечают диссипативные и потенциальные силы, а квазициклическим - диссипативные и постоянные обобш,енные силы.

sect;1.5. Асимптотическое преобразование 41

Приведенные выше доказательства основаны на энергетических соотношениях тина (1.4.10), которые могут быть составлены и для механических систем с распределенными параметрами. Поэтому полученные результаты справедливы также и для таких систем. Равным образом они распространяются и на системы с объемными проводниками. Действительно, используя в этом случае дискретное описание токов в теле [73], придем к тем же соотношениям, только суммирование в уравнениях типа (1.4.2) будет проводиться по счетному множеству контуров.

sect; 1.5. Асимптотическое преобразование уравнений движения проводяш,его твердого тела в переменном магнитном поле

Известно, что переменные магнитные силы могут дестабилизировать устойчивое положение равновесия, приводя к развитию автоколебаний. Этот эффект математически связан с изменением структуры уравнений Лагранжа-Максвелла, в которых при задании переменного внешнего поля кроме гироскопических сил, как это имеет место в случае систем с магнитоэлектрическими гасителями, рассмотренном далее в sect; 2.2, появляются и циркуляционные обобш,енные силы.

Рассмотрим подробно задачу о медленных движениях проводяш,е-го твердого тела в переменном магнитном поле. Предположим, что распределение вихревых токов в твердом теле может быть представлено в виде разложения по некоторой полной системе соленоидальных векторных функций Sr, постоянных в системе координат, связанной с твердым телом [73]:

j{t,x,y,z) = ir{t)Sr{x,y,z). (1.5.1)

Выражение для энергии магнитного поля может быть представлено как сумма

W = + J{tfM{q)i. (1.5.2)

Здесь бесконечномерный вектор i коэффициентов разложения (1.5.1) эквивалентен вектору токов в laquo;фиктивных raquo; контурах твердого тела. Таким образом, твердое тело представляется счетной или конечной системой проводягцих контуров, взаимное положение которых не меняется при его движении. Этому соответствует постоянство матрицы коэффициентов само- и взаимоиндукции L. J(t) - вектор токов, за-даюш,их переменное внешнее поле, M{q) - прямоугольная матрица