Динамо-машины  Нелинейная электромеханика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [ 103 ] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

sect;6.6. Уравнение Эмдена-Фаулера

быть асимптотой иптегральпых кривых (по при иных значениях с, 7 это возможно; см. далее).

Из (6.6.7) следует ту lt; --4пс/п = с и т]д gt; т]с- Выпишем выражение для корней трехчлена при 7 = 1

1,2 = [(с+ 1) plusmn; (с+ 1)л/(с + 1) - 4(с - (6.6.10)

Здесь t9l() - значение д на L; так как корни di2 суш,ествуют лишь при Г] gt; г]д gt; г]с, то iL gt; 0. Кроме того, 11,2 gt; 0. Имеем при с -

п-1 lt; 1/4(с 1)2

(с + 1)2 - (с + 1)л/(с+1)2-4(с-п7у-1)- 2(с - пту-) gt; о, (6.6.11)

что легко показать, уединяя радикал и возводя в квадрат. Поэтому меньший корень 12 gt; Следовательно, на L и ниже L, а также нри lt; О трехчлен положителен.

Рис. 6.14

Прямую В с уравнением i9 = ту и прямую С с уравнением = сг] интегральные кривые пересекают, переходя из области, лежаш,ей ниже прямой, в область, лежаш,ую выше. Действительно, на В б?т9/б?7у = 1 + + 7y/i9 gt; 1, на С di}/dr] = с + 7у/9 gt; с.

Учитывая знаки dd/dri и dd/drf, заключаем, что интегральная кривая, пересекшая L при i9 gt; О, пересечет затем ось Оту. При п ф -1 все кривые, попавшие в область i9 lt; О, переходят затем в область gt; gt; О на отрезке О, т]с- При п gt; - 1 имеются кривые, начинаюгциеся или кончаюш,иеся на оси Oi9.

Пусть с gt; 1. Покажем, что в этом случае суш,ествует интегральная кривая, асимптотически приближаюш,аяся к В снизу. Так как среди

316 Глава 6. Задачи нелинейной теории

кривых, пересекающих В или Ог] при ту gt; тус пи Б, пи L и, следовательно, уходящих в бесконечность, оставаясь ниже В так, что ту и i9 на них монотонно возрастают с ростом г. Возьмем туо, то на laquo;монотонном raquo; участке такой кривой и воспользуемся соотношениями (6.6.5). Так как в силу монотонности ту (г) gt; туо при г gt; О, то

(с - 1Щт) lt; (стуо - т9о)е - с(туо - о)е + J[се lt;- - eKd =

= (стуо - 0 - VoV + (со - стуо + VoV- (6.6.12)

Если сто - стуо + туо lt; О, то т9(г) на некотором г начнет убывать, что невозможно, так как рассматривается laquo;монотонный raquo; участок разделяющей кривой. Но так как любую точку на этом участке можно взять за начальную, то везде на нем О lt; ту - т9 lt; ту/с и ту - т9 О при ту оо.

Покажем далее, что существует только одна разделяющая кривая. Предположим противное и рассмотрим ветви двух разделяющих кривых, монотонно уходящие в бесконечность. Пусть одна кривая имеет уравнение т9 = T9i(Ty), вторая т9 = (ту) и di{r]o) gt; т92(туо), Щ gt; Обозначим Ат9 = t9i - 12. Имеем

Так как кривые t9i (ту), 12 (ту) имеют одну и ту же асимптоту, то Ат9 должно стремиться к нулю при ту оо. Нри этом должно быть Ат9 gt; 0. Но положительное решение уравнения (6.6.13) при ту gt; тус возрастает с ростом ту. Следовательно, две кривые T9i(Ty) и 12 (ту) не могут существовать.

Таким образом, в случае тг 7 - 1 при увеличении т все интегральные кривые, кроме особой точки ту = тус и разделяющей, laquo;начав raquo; с бесконечного числа оборотов вокруг фокуса, пересекают В и уходят далее в бесконечность. Разделяющая же кривая, уйдя от фокуса, асимптотически приближается к В снизу (рис. 6.15, а). В случае тг gt; - 1 имеются еще кривые, приходящие из фокуса на От9 и уходящие с От9 в бесконечность.

В теории уравнения Эмдена-Фаулера наиболее интересен вопрос о поведении решений при р {) и р оо] ои важен, в частности, для исследования краевых задач. Для системы (6.6.4) нужно соответственно выяснить свойства решений при г - gt;- =Ьоо. В случае г - gt;- - оо они очевидны. В случае же г - gt;- оо интегральные кривые уходят в бесконечность, нелинейный член в (6.6.4) убывает и поведение решений определяется в основном линейной частью. Возьмем любую кривую, уходящую в бесконечность и отличную от особой ту = тус и разделяю-

lim г]{т)е- = (с - 1)- к -т + [ e-rjiOd

гоо L J

(6.6.14)

sect;6.6. Уравнение Эмдена-Фаулера 317

щей. Умножая обе части (6.6.5) на е и переходя к пределу, получим, что существуют конечные пределы

Ч о,

lim i9(r)e~ = с lim т]{т)е~.

г-оо г-оо

Рассмотрим разделяющую кривую. Воспользуемся тождеством

ф) = ще + j е-ЩО - (6.6.15)

Так как ту (г) - {т) 0 при г оо, то интеграл

е-Щ)-пШ (6.6.16)

(6.6.17)

сходится и, следовательно, существуют конечные пределы

lim ф)е- =Vo- f еШ - md,

roo J

lim i9(r)e~ = lim т]{т)е~.

r- gt;-oo r- gt;-oo

Для исследования краевых задач нужно знать, как изменяются указанные пределы нри изменении начальной точки на интегральной кривой. Рассмотрим пределы функций f{r)r]i{r) и /(г)7у2(т), где r]i{r) и 772 (т) соответствуют одной и той же интегральной кривой, но отличаются значениями при г = 0. Пусть r]i{0) = тую, i(O) = тю, 2(0) = = то, 2(0) = 12(0). Тогда 7У2 = 7yi(r+ri2), где Г12 таково, что 7yi(ri2) = = 1(12) = 2о;? 12 gt; о, если переход точки (/yicio) к точке (20,20) происходит в направлении возрастания г и Г12 lt; О, если он отвечает убыванию. Имеем

lim /(r)7yi(r) = lim - [ lim /(г)7у2(г). (6.6.18)

roo roo /(т) roo

при условии, ЧТО ЭТИ пределы существуют. Следовательно, для всех кривых, кроме разделяющей

lim 7yi(r)e = е ! у-ст (6.6.19)

г-оо г-оо

Па разделяющей кривой

lim щ{т)е- =е-12 щ{т)е-\ (6.6.20)

г- gt;-оо г- gt;-оо

в случае О lt; с lt; 1, разбираемом аналогично, разделяющая кривая асимптотически приближается к прямой С. Па этой кривой конечен

lim г]{т)е- = - lim ф)е-\ (6.6.21)

г-оо с г-оо