www.chms.ru - вывоз мусора в Балашихе |
Динамо-машины Нелинейная электромеханика
1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
36 Глава 1. Описание электромеханических систем
трим для этого зависимости /0(1,..., вт) и iso(ei,..., е). Перепишем уравнения (1.4.4) в виде
Fkiho,... ДтУсПо,... ,mo,ei,... ,ет) = 0. (1.4.5)
При ei = ... = = О уравнения (1.4.4) или (1.4.5) имеют решение, когда все hoiso = 0. Рассмотрим функциональный определитель
А = D{Fu...,FNm)
D{Iio, . . . ,/7VO,no, . . . ,imo)
Обозначим Rko = {dUk/dIk)o- Рассмотрим уравнения относительно Jio, . . . , JnOj jlOj jjmO-
E PskRkoJko = eo, s = 1,..., Ш, Jko = E bo, /1: = 1,..., TV.
Здесь eo - любые числа, Rko = 0, если соответствуюш,ее сопротивление Rk = О и Rko gt; О для Rk Ф 0. Уравнения (1.4.7) описывают распределение постоянных токов, создаваемых ЭДС ео в цепи, отли-чаюш,ейся от рассматриваемой тем, что в ветвях вместо сопротивлений Rk включены не зависяш,ие от токов сопротивления Rko По предположению эта цепь не содержит независимых контуров с нулевым сопротивлением. Для такой цепи уравнения (1.4.7), очевидно, однозначно разрешимы при любых ео-
По уравнения (1.4.7) представляют собой линейную систему относительно Jkojso- Из ее однозначной разрешимости при любых ео следует, что ее определитель отличен от нуля. В то же время этот определитель совпадает с определителем А, вычисленным в laquo;нулевой raquo; точке.
Установленное соотношение А 7 О и принятые предположения о гладкости функций Uk позволяют применить теорему о неявной функции (см., например, [20]). Следовательно, в некоторой окрестности нулевой точки суш,ествуют однозначные зависимости /0(1,..., е), iso(ei,... ,6).
Покажем далее, что эти зависимости непрерывно и однозначно продолжаются на всю область, где определены и имеют указанные свойства функции Ukih)- Иначе говоря, покажем, что функции Ikoii, т) и iso(ei,..., бт) не имеют точек ветвления по параметрам ei,..., е. Пусть такая точка обнаружилась. Рассмотрим в этой точке определитель А. Точно так же, как и ранее, устанавливается, что он отличен от нуля. По этого не может быть в точке ветвления. Следовательно, не может быть и самой точки ветвления.
sect;1.4. Двиэюения электромеханических систем
Покажем, наконец, что рассмотренная ш-нараметрическая ветвь решений уравнений (1.4.4) единственная. Пусть при одних и тех же 1,..., уравнения (1.4.4) имеют два решения ijJ, iJ и ijJ, iJ. Перепишем первое уравнение (1.4.4) в виде
es-Y,PskUk{lil) =0, 8 = 1,...,ш. (1.4.8)
Умножим обе части этого уравнения на разность - просуммируем по S. Учитывая, что - тоже решения (1.4.4), получим
S=l 1к = 1
VsO so ) -
= Eh(4o-f.(4i)](4i-4o) = o. (1.4.9)
Каждое слагаемое в последней сумме (1.4.9) неположительно. Поэтому все слагаемые должны обраш,аться в нуль, что возможно только при
г(1) г(2) кО - кО
Покажем, что электромеханические системы при постоянных сторонних ЭДС и диссипативных обобгценных силах обладают свойством дихотомии, т. е. все ограниченные движения стремятся к стационарному. Воспользуемся энергетическим соотношением
(1.4.10)
s=l к=1
где H = W-\-Il-\-T - полная энергия электромеханической системы. Допустим, что eg таковы, что суш,ествует решение системы (1.4.4). Составим функцию
V = H-J2sos
(1.4.11)
Дифференцируя V и заменяя из (1.4.2), - из (1.4.4), получим
т N ш N
s=l k=l
m г N
bo =
= p+E Y.Mho)-Y.Mh)
s=l k=l
{is - iso) =P + K.
(1.4.12)
38 Глава 1. Описание электромеханических систем
Здесь
К = YiUkiho) - Ukih)] {h - 4о). k=i
Оба слагаемых Р и К в выражении для V неположительны.
Рассмотрим теперь ограниченные движения в системе, т. е. такие движения, что вектор-столбцы qq и i остаются при всех t в ограниченной области пространства этих переменных, содержащейся в D. Покажем, что такие движения являются стационарными вида Ik = = Ikois = isoqi, ,qn = const, либо стремятся к стационарным.
Действительно, в ограниченном движении функция V также ограничена, и, следовательно, интеграл
P{r)+K{r)]dr
ограничен при всех t. Поскольку же Р и К неположительны, то ограничены порознь интегралы от Р и i.
Учтем теперь, что в рассматриваемом движении ограничены Р иК (входящие в Р и ускорения qk и производные токов im ограничены в силу уравнений Лагранжа-Максвелла (1.4.2), (1.4.3)). Получили, что интегралы от функций, не меняющих знака и имеющих ограниченную производную по t, ограничены при всех t. По так может быть только при условии, что эти функции стремятся к нулю при t 00. Заметим, что для функции с неограниченной производной это неверно: такая функция может иметь ограниченный интеграл и не стремиться к нулю, имея, например, бесконечное число laquo;всплесков raquo; убывающей площади, но не убывающей высоты.
Таким образом, установлено, что в ограниченном движении функции Р и К стремятся к нулю при t оо. По так может быть только, если qi,... ,qn стремятся к нулю, а J, - к /о, so- Иначе говоря, любое ограниченное движение либо является стационарным, либо стремится к одному из стационарных.
В самом же стационарном движении токи постоянны, не зависят от механических координат, и осуществляется механическое равновесие под действием электромагнитных сил. Однако в целом такое решение уравнений Лагранжа-Максвелла является стационарным движением, а не равновесием, так как токи аналогичны обобщенным скоростям в механике.
Те же выводы сохраняются для систем с незамкнутыми токами проводимости (включающих конденсаторы). Пусть энергия электрического поля Е зависит от I lt; т независимых зарядов gi,... ,gi и, мо-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |