Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

1.5.1.1. Среднее по ансамблю

Среднее значение (mean value) /п, или математическое ожидание (expected value), случайной переменной X определяется выражением

тх=ЩХ}= \xpxix)dx, (1.26)

где Е(} именуется оператором математического ожидания (expected value operator). Моментом п-го порядка распределения вероятностей случайной переменной X называется следующая величина:

Е(Х }= \x px(x)dx. (1.27)

Для анализа систем связи важны первые два момента переменной X. Так, при и = 1 уравнение (1.27) дает момент тх, рассмотренный выше, а при и = 2 - среднеквадрати-ческое значение X

Е{Х} =

xPx(x)dx. (1.28)

Можно также определить центральные моменты, представляющие собой моменты разности X и т. Центральный момент второго порядка (называемый также дисперсией) равен следующему:

var(X) = E((X-ffJx)}= \(x-mx)Px(.x)dx. (1.29)

Дисперсия X также записывается как о/, а квадратный корень из этой величины, ах, называется среднеквадратическим отклонением X. Дисперсия - это мера разброса случайной переменной X. Задание дисперсии случайной переменной ограничивает ширину функции плотности вероятности. Дисперсия и среднеквадратическое значение связаны следующим соотношением:

ах = Е{Х-2тхХ + тх] = = Е{Х} -2тхЕ[Х] + /п/ = = E(X}-m/.

Таким образом, дисперсия равна разности среднеквадратичсского значения и квадрата среднего значения.

1.5.2. Случайные процессы

Случайный процесс Х(А, t) можно рассматривать как функцию двух переменных: события А и времени. На рис. 1.5 представлен пример случайного процесса. Показаны Л выборочных функций времени (Х/г)}. Каждую из выборочных функций можно рассматривать как выход отдельного генератора шума. Для каждого события Aj имеем одну

функцию времени X(.Aj, t) = Xj{t) (т.е. выборочную функцию). Совокупность всех выборочных функций называется ансамблем. В любой определенный момент времени Х(А, ft) - это случайная переменная X(jtd, значение которой зависит от события. И последнее, для конкретного события A = Aj и для конкретного момента времени г = г, XiAj, tt) - это обычное тою. Для удобства записи будем обозначать случайный процесс через X(t), а функциональную зависимость от А будем считать явной.

Выборочные функции

Время

Рис. 1.5. Случайный процесс

1.5.2.1. Статистическое среднее случайного процесса

Поскольку значение случайного процесса в каждый последующий момент времени неизвестно, случайный процесс, функции распределения которого непрерывны, можно описать статистически через плотность вероятности. Вообще, в различные моменты времени эта функция для случайного процесса будет иметь разный вид. В большинстве случаев эмпирически определить распределение вероятностей случайного процесса нереально. В то же время для нужд систем связи часто достаточно частичного описания, включающего среднее и автокорреляционную функцию. Итак, определим среднее случайного процесса X{i) как

ЩХ{1)]= xpx{x)dx = mx(,tt).

(1.30)

где X(t - случайная переменная, полученная при рассмотрении случайного процесса в момент времени fj, а р Кх) - плотность вероятности X(td (плотность по ансамблю событий в момент времени t.

Определим автокорреляционную функцию случайного процесса Х(0 как функцию двух переменных fi и ti

1 Ц r laquo;miu- gt;.-lt

Rx(.tut2) = E{X(tmt2)h (1.31)

где X(ri) и Xiti) - случайные переменные, получаемые при рассмотрении X{t) в моменты времени г, и t2 соответственно. Автокорреляционная функция - это мера связи двух временных выборок одного случайного процесса.

1.5.2.2. Стационарность

Случайный процесс Х(0 называется стационарным в строгом смысле, если ни на одну из его статистик не влияет перенос начала отсчета времени. Случайный процесс именуется стационарным в широком смысле, если две его статистики, среднее и автокорреляционная функция, не меняются при переносе начала отсчета времени. Таким образом, процесс является стационарным в широком смысле, если

Е {X(f) }=тх = константа (1.32)

Rx(tx,h) = Rx(.h-h). (1.33)

Стационарность в строгом смысле подразумевает стационарность в широком смысле, но не наоборот. Большинство полезных результатов теории связи основывается на предположении, что случайные информационные сигналы и шум являются стационарными в широком смысле, С практической точки зрения случайный процесс не обязательно всегда должен быть стационарным, достаточно стационарности в некотором наблюдаемом интервале времени, представляюшем практический интерес.

Для стационарных процессов автокорреляционная функция в уравнении (1.33) зависит не от времени, а только от разности fi - Гг- Иными словами, все пары значений Х(0 в моменты времени, разделенные промежутком т = fi - ti, имеют одинаковое корреляционное значение. Следовательно, для стационарных систем функцию Лх(1. г) можно записывать просто как Лх(х).

1.5.2.3. Автокорреляция случайных процессов, стационарных в широком смысле

Как дисперсия предлагает меру случайности для случайных переменных, так и автокорреляционная функция предлагает подобную меру для случайных процессов. Для процессов, стационарных в широком смысле, автокорреляционная функция зависит только от разности времен x = ty- t-i.

Лх(с) = Е{Х(ОХ(г+т)} для-*о lt;т lt;оо. (1.34)

Для стационарного в широком смысле процесса с нулевым средним, функция Лх(х) показывает, насколько статистически коррелируют случайные величины процесса, разделенные т секундами. Другими словами, R,x) дает информацию о частотной характеристике, связанной со случайным процессом. Если Лх(х) меняется медленно по мере увеличения т от нуля до некоторого значения, это показывает, что в среднем выборочные значения X(f), взятые в моменты времени t = ti и f = fj. практически равны. Следовательно, мы вправе ожидать, что в частотном представлении Х(0 будут преобладать низкие частоты. С другой стороны, если Лх(х) быстро уменьшается по мере увеличения т, стоит ожидать, что Х(0 будет быстро меняться по времени и, следовательно, будет включать преимущественно высокие частоты.