Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [ 68 ] 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

б) Чему равно минимальное расстояние между тонами для ортогональной передачи сигналов FSK с когерентным детектированием ?

Решение

а) Чтобы два сигнала были ортогональными, они должны удовлетворять условию ортогональности, которое дается выражением (3.69):

cos (2/1? + ф) cos 2Kf2t dt = 0.

(4.45)

Используя основные тригонометрические соотношения, приведенные в формулах (Г.6) и (Г.1)-(Г.З), можно переписать выражение (4.45) в виде

совф

так что

cos 27l/i/ cos 2Kf2t dt - sin ф sixuKft cos 2/2? dt = 0,

(4.46)

cos ф [cos 27г(/ + f)t + cos2k(/, -f)t]dt-

- sin ф j[sin2rt(/, +/2)? + sin27r(/, -ft)]dt = 0

(4.47)

что дает

С05ф

sin27r(/i+/2)r sin2n:(/i-/2)r 2л(/,+/2) 2л(/,-/2)

+ 51пф

cos2k(/i + /2)? cos2tc(/i -Д)? 2я(/,+/2) 2л(/,-/2)

cosф

+51пф

sin2(/i+/2)r , sin27r(/i-/2)r

27Г(/,+/2) 2rt(/i-/2)

cos27r(/i+/2)r-l, cos2(/i-/2)r-l

2л(/,+/2) 2л(/,-/2)

Далее можно предположить, что /1 +/2 raquo; 1; это позволяет записать следующее:

sin2TC(/i +/2)7 cos27r(/i +/2) Г

27г(/,+/2) 2л(/,+/2)

Затем, объединяя выражения (4.49) и (4.50), можем записать следующее: cos ф sin 2K(/i -/2) + sin ф [cos 27г(/ -/2)Г- 1] = 0.

(4.48)

(4.49)

(4.50)

(4.51)

Отметим, что при произвольной фазе ф выражение (4.51) всегда справедливо, только если sin 2n(fx - fi)T= О и при этом cos 2т\ -f-i)T= 1. Поскольку

sin д: = о при х = пк

cos д: = 1 при X = 2кк,

тае пи к - целые, условия sin д: = О и cos д: = 1 удовлетворяются одновременно при я =2к. Следовательно, из формулы (4.51) для произвольного ф можем записать следующее:

2л(Л-/2)Г=2*1С

или (4.52)

/1-/2 = */Г.

Минимальное расстояние между тонами дая ортогональной передачи FSK-мояулированных сигналов с некогерентным детектированием получаем при к=1, при этом

/,-/2= (4.53)

Напомним вопрос, сформулированный выше. Имея два тона fi= 10 ООО Гц и = 11 ООО Гц, мы спрашивали, являются ли они ортогональными? Теперь у нас достаточно информации для ответа на поставленный вопрос. Ответ связан со скоростью передачи сигналов FSK. Если манипуляция сигналами (переключение сигналов) происходит со скоростью 1 ООО символов/с и используется некогерентное детектирование, то сигналы ортогональны. Если манипуляция происходит быстрее, скажем со скоростью 10 ООО символов/с, сигналы не ортогональны.

б) При некогерентном детектировании, рассмотренном в п. а, расстояние между тонами, превращающее сигналы в ортогональные, было найдено посредством выполнения уравнения (4.45) для любой произвольной фазы. В случае когерентного детектирования расстояние между тонами находится, если положить ф = 0. Причина в том, что мы знаем фазу принятого сигаала (ее дает контур ФАПЧ). Этот принятый сигаал будет коррелировать с каждым опорным сигаалом, причем в качестве фазы опорного сигаала используется фаза принятого сигаала. Уравнение (4.51) можно теперь переписать с учетом ф = 0:

sm2K(fi-f2)T=0 (4.54)

/,-/2 = laquo;/27-. (4.55)

Минимальное расстояние между тонами для ортогональной передачи сигналов FSK с когерентным детектированием получаем при п = 1, при этом

fi-fz = mT. (4.56)

Следовательно, при одинаковых скоростях передачи символов когерентное детектирование требует меньшей ширины полосы, чем некогерентное, обеспечивая при этом ортогональную передачу сигналов. Можно сказать, что передача сигналов FSK с когерентным детектированием более эффективно использует полосу. (Вопрос эффективности использования полосы подробно рассмотрен в главе 9.)

При когерентном детектировании тоны расположены более плотно, чем при кекоге-рентном, поскольку, если расположить два периодических сигнала так, чтобы их начальные фазы совпадали, ортогональность будет получена автоматически в силу симметрии (четности и нечетности) соответствующих сигналов в течение одного периода передачи символа. Это является отличием от способа получения ортогональности в п. а, где мы не уделяли внимания фазе. В случае когерентного детектирования регулировка фазы в разрядах коррелятора означает, что мы можем расположить тоны ближе (по частоте) друг к другу, при этом по-прежнему поддерживая ортогональность в наборе тонов FSK. Вы можете доказать это самостоятельно, изобразив две синусоиды (или косинусоиды, или

последовательности прямоугольных импульсов). Начальная фаза всех сигналов должна быть одинаковой (удобнее всего взять ее равной О радиан). Используя миллиметровку, выберите удобную временндто шкалу для представления одного периода передачи символа Т. Изобразите тон с периодом Т, а затем изобразите другой тон, имеющий такую же начальную фазу, как и предыдущий, и период 2/37. Выполните численное суммирование произведений тонов (смещенных относительно дауг друга на 1/27) и докажите, что они действительно являются ортогональными.

4.6. Комплексная огибающая

Описание реальных модуляторов и демодуляторов облегчается при использовании комплексной формы записи, введенной в разделе 4.2.1. Любой реальный полосовой сигнал s{t) можно представить в комплексной форме как

s{t) = Rt[g{t)e lt;f], (4.57)

где (0 - комплексная огибающая, которую можно записать следующим образом:

(0 = x{t) + iy(t) = (f)e raquo; laquo; = R(t)e\ (4.58)

Амплитуда комплексной огибающей выражается как

R(t) = \8(t)\=,Jx\t) + y\t) , (4.59)

а фаза определяется следующим образом:

9(0 = arctg. (4.60)

x(t)

В формуле (4.57) g(t) можно называть полосовым сообщением или данными в комплексной форме, а е - несущей в комплексной форме. Произведение этих двух величин представляет операцию модулирования, а s{t), действительная часть произведения, - это переданный сигнал. Следовательно, используя формулы (4.4), (4.57) и (4.58), s(t) можно выразить следующим образом:

sit) = Re{[xit) + iy(f)][cos ov + / sin ov]} = (4.61)

= xit) cos (Hot - yit) sin (Hot.

Отметим, что модулирование сигналов, выраженное в общей форме (а+4Ь), умноженное на (с + icf), дает сигнал с переменой знака (в квадратурном члене несущей волны) вида ас - bd.

4.6.1. Квадратурная реализация модулятора

Рассмотрим видеосигнал git), который представлен последовательностью идеальных импульсов x{t) и yit), передаваемых в дискретные моменты времени /t= 1, 2,... . Таким образом, g(t), x{t) и y{t) в уравнении (4.58) можно записывать как gt, xt и у*. Пусть значения амплитуд импульсов равны д=у1=0,707А. При этом комплексную огибающую можно выразить в дискретной форме следующим образом:

gk = Xk+ (Ук = 0,707А + Ю,707А. (4.62)

4.6. Комплексная огибающая 231