Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

в заключение отметим, что поскольку отношение SIN является безразмерным, таким же является и отношение E,jNo. Для проверки можно вычислить единицы измерения:

, Джоуль Ватт-секунда Ло Ватт на герц Вагм;екунда

3.2. Детектирование двоичных сигналов в гауссовом шуме

3.2.1. Критерий максимального правдоподобия приема сигналов

Критерий принятия решения, используемый в этапе 2 (рис. 3.1), описывался формулой (3.7) следующим образом:

Популярный критерий выбора порога у для принятия двоичного решения в выражении (3.7) основан на минимизации вероятности ошибки. Вычисление этого минимального значения ошибки 7= Yq начинается с записи связи отношения плотностей условных вероятностей и отношения априорных вероятностей появления сигнала. Поскольку плотность условной вероятности р(ф,) также называется функцией правдоподобия s формулировка

есть критерием отношения функций правдоподобия (см. приложение Б). В этом неравенстве P(j,) и Pfe) являются априорными вероятностями передачи сигналов Si(0 и 2(0, а Ну и Hi- две возможные гипотезы. Правило минимизации вероятности ошибки (формула (3.31)) гласит, что если отношение функций правдоподобия больше отношения априорных вероятностей, то следует выбирать гипотезу Я,.

В разделе Б.3.1 показано, что при P{s{)-P{s2) и симметричных функциях правдоподобия р(г IJ,) ( lt; =1, 2) подстановка формул (3.5) и (3.6) в формулу (3.31) дает

а, +д,

г(Г)=7 , (3.32)

где а, - сигнальный компонент z(7) при передаче si(f), а laquo;г - сигнальный компонент г(7) при передаче 2(0- Порог Уо, представленный выражением {а + йГ2)/2, - это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения в этом важном частном случае. Описанный подход называется критерием минимальной ошибки.

Для равновероятных сигналов оптимальный порог уо, как показано на рис. 3.2, проходит через пересечение функций правдоподобия. Следовательно, из формулы (3.32), видим, что этап принятия решения заключается в эффективном выборе ги-

потезы, соответствующей сигналу с максимальным правдоподобием. Пусть, например, значение выборки принятого сигнала равно ZaiT), а значения функций правдоподобия того, что Za(T) принадлежит к одному из двух классов j,(0 или laquo;гСО, отличны от нуля. В этом случае критерий принятия рещения можно рассматривать как сравнение функций правдоподобия p{zj[si) и p(Za\si). Более вероятное значение переданного сигнала соответствует наибольшей плотности вероятности. Другими словами, детектор выбирает si(t), если

P(z,\s0 gt;p{za\s2). (3.33)

В противном случае детектор выбирает S2(,t). Детектор, минимизирующий вероятность ошибки (для классов равновероятных сигналов), называется детектором максимального правдоподобия.

Из рис. 3.2 можно видеть, что выражение (3.33) - это метод здравого смысла принятия решения при наличии статистических знаний о классах. Имея на выходе детектора значение Za{T), видим (рис. 3.2), что ZaiT) пересекается с графиком функции правдоподобия si(t) в точке Zi и с графиком функции правдоподобия 2(0 в точке I2. Какое наиболее разумное решение должен принять детектор? В описанном случае наиболее здравым является выбор класса Si(t), имеющего большее правдоподобие. Если бы пример был М-мерным, а не бинарным, всего существовало бы М функций правдоподобия, представляющих М классов сигналов, к которым может принадлежать принятый сигнал. Решение по принципу максимального правдоподобия в этом случае представляло бы выбор класса, имеющего самое большое правдоподобие из М возможных. (Основы теории принятия решений даются в приложении Б.)

3.2.1.1. Вероятность ошибки

В процессе принятия бинарного решения, показанном на рис. 3.2, существует две возможности возникновения ошибки. Ошибка е появится при передаче Si{t), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала z(t) упадет ниже уо. Вероятность этого равна следующему:

Pie\s,)=P(.H2\si)= lp(z\s,)dz. (3.34)

Эта возможность показана заштрихованной областью слева от уо (рис. 3.2). ПодобньЫ образом ошибка появляется при передаче 2(0. если вследствие шума канала уровень переданного сигнала г(0 поднимется выше Уо- Вероятность этого равна следующему:

P(e\s2) = P(Hi\s2) = jp(z\s2) dz. (3.35)

Вероятность ошибки равна сумме вероятностей всех возможностей ее появления. Для бинарного случая вероятность юзникновения ошибочного бита можно выразить следующим образом:

Рв =Р{е, s,) = P(e\s,)P{s,). (3.36)

1=1 1=1

Объединяя формулы (3.34)-(3.36), получаем

Рв = P{e\si)PUi) + P(eh)Pfe) (3.37,а)

или, что равносильно,

Рв = PiH2\Sl)P(Sl) + P(H2\S2)P(S2). (3.37,6)

Иными словами, при передаче сигнала si(t) ошибка происходит при выборе гипотезы Яг; или при передаче сигнала 2(0 ошибка происходит при выборе гипотезы Hi. Для равных априорных вероятностей (т.е. P{si) = P(s2) = 1/2) имеем следуюшее:

Pb=P(H2\sO + P(Hi\s2). (3.38)

Используя симметричность плотностей вероятности, получаем следуюшее:

PB = P{H2\sd = Pms2). (3.39)

Вероятность появления ошибочного бита, Рв, численно равна плошади под хвостом любой функции правдоподобия, p(,z\si) или p(z\s2), заползаюшим на неправильную сторону порога. Таким образом, для вычисления Рв мы можем проинтегрировать p(zii) от -оо до Уо или p{z\s2) - от Уо до оо:

p{z\s2)dz.

(3.40)

Уо = (а, +д,)/2

Здесь уо= (д1 + Д2)/2- оптимальный порог из уравнения (3.32). Заменяя функцию правдоподобия р(ф2) ее гауссовым эквивалентом из формулы (3.6), имеем

Pr =

л/2л

ехр --

(3.41)

где Оо - дисперсия шума вне коррелятора.

Сделаем замену м = (г - йГ2)/Оо. Тогда Оом = dzvi

Рв =

(3.42)

Qix) называется гауссовым интегралом ошибок и часто используется при описании вероятности с гауссовой плотностью распределения. Определяется эта функция следующим образом:

(3.43)

Отметим, что гауссов интеграл ошибок может определяться несколькими способами (см. приложение Б); впрочем, все определения одинаково пригодны для описания вероятности ошибки при гауссовом шуме. Q{x) нельзя вычислить в аналитическом виде. В табл. Б.1 она представлена в форме таблицы. Хорошие аппроксимации функции