Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 [ 347 ] 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

y(t-to) lt;-e- laquo;Y(s).

(Д.8)

Данное свойство называется свойством смещения во времени. Другие свойства преобразования Лапласа приведены в табл. Д.2. Их справедливость можно проверить путем простой подстановки в интегральное выражение, описывающее соответствующее преобразование. Отметим, что соотнощение s = /со между преобразованиями Фурье и Лапласа означает, что существует простой эквивалентный переход между преобразованиями, приведенными в табл. Д.1 и А.1, и свойствами, указанными в табл. Д.2 и А.2.

Таблица Д.2. Свойства преобразования Лапласа

Свойство

Временная функщм

Лаплас-образ

Произвольная функция Произвольная функция Линейность

Сдвиг во времени (X gt; 0) Масштабирование времени

Модуляция Дифференцирование

И нтегрирование

40 у(0

ax(t) + by(t)

x(t-x)

x(at)

dx(t) dt

x{x)dx

Y{s)

aX(s) + ЬГ(5) e- X(s)

X(s - d) sX{s)-x(jy)

X{s)

Свертка

xit) * yit)

Xi.s)Y{s)

Д.1.3. Использование преобразования Лапласа

Преобразования Лапласа полезны, когда требуется решать дифференциальные (по времени) уравнения или выполнять операцию свертки. Например, для нахождения тока /(О простой ЛС-цепи, показанной на рис. Д.1, отметим, что сумма напряжений на конденсаторе и сопротивлении равна входному напряжению.

Vi (0 = (0/? + - = /(0/? + -

i{t)dt

(Д.9)

Если входное напряжение - это единичная ступенчатая функция, vjt) = uit), а q - заряд конденсатора (в кулонах), то, применяя к обеим частям формулы (Д.9) преобразование Лапласа и используя табл. Д.1 и Д.2, получаем следующее:

Vm(s) = Rl(.s) +- откуда следует I(s) =

R + l/(sC) s + l/iRC)

(Д.10)

1070

Ппилпжйыий Я. s-облясть 2-о6лясть и нисЬоовяя сЬильтоаиия

lout(f)

l{s)

K gt;ut(s)

0,1 ЗдБ ЗдБ lOfSflS lOOfSflB ЮООЗдБ В)

Рис. д. 1. Использование преобразования Лапласа: а) RC-контур; б) представление с помоиью преобразования Лапласа; в) амплитудная характеристика

(Для единичной ступенчатой функции V (s) = 1/s.) Затем, возвращаясь во временндто область (и снова используя таблицы свойств преобразования Лапласа), получаем следующее:

(Д.И)

Д.1.4. Передаточная функция

С помощью преобразования Лапласа можно определить (через переменную s) передаточную функцию линейной системы. Из уравнения (Д. 10) при нулевом сопротивлении /? = О импеданс конденсатора можно вычислить следующим образом:

I{s) sC

Входное и выходное напряжения (в 5-области) можно записать следующим образом:

(Д. 12)

Vi (s) = /(5)/J+HKo ,(5)=-

(Д.13)

Таким образом, (в i-области) передаточную функцию можно определить следующим образом:

Я(5) =

Vo(s)

.п() д,);г + М ЛС + 1 sC

Д14)

Д.1. Преобразование Лапласа

1071

д. 1.5. Фильтрация нижних частот в RC-цепи

Пусть на вход ЛС-цепи подается комплексная синусоида Vin(t) = е . Используя сказанное выше, можем перейти к преобразованию Фурье, положив j = ico, где со = 2л/. Таким образом, из передаточной функции можно получить частотную характеристику цепи.

out/) = g-1 arctg{2n/RC)] (Л 15)

V;Af) to laquo;C + l 2iziJ7iC + l 2nfRCf+l

Для малых значений / \H{f}\ = 1; а для больших значений / \H{f}\ = 0. Если /=/о = 1/(2kRQ, то

\H{f}\ ~ l/yfl. Отметим, что 20 lg(l/л/2) = - 3 дБ ; следовательно, /о - это частота по уровню

-3 дБ, когда выходная мощность вдвое меньше входной. Следовательно, формула (Д. 15) задает тот же фильтр нижних частот, что и формула (1.63). Низкие частоты проходят через фильтр, а высокие - подавляются; данная ситуация показана на рис. Д.1, е.

Д.1.6. Полюсы и нули

Линейные системы, а следовательно и (линейные) аналоговые фильтры, можно представить дифференциальными уравнениями во временной области. Рассмотрим, например, следующее уравнение второго порядка.

dt dt dt- dt

Реализация дифференцирования и/или интегрирования различных порядков происходит с использованием емкостей и индуктивностей вместе с усилителями с обратной связью, имеющими нужный порядок [2]. Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (Д. 16), получаем более удобное (с точки зрения математики и формы записи) уравнение Лапласа.

Y{s) = AsX(,s) + BsX(s) + CX(s) + DsY(s) + EsY(s) (Д.17)

Передаточная функция записывается в следующем виде:

X(s) -Ds-Es+l -D(s-bo){s-bx)

Корни числителя {oq, a,} называются нулями, a корни знаменателя [bg, b] - полюсами. Отметим, что если А, В я С- вещественны, нули {ад, а} являются комплексно-сопряженными.

Д.1.7. Устойчивость линейных систем

Рассмотрим однополюсное уравнение, соответствующее некоторой линейной системе.

H(s) = - (Д. 19)

Импульсную характеристику данной системы можно (используя табл. Д.1) найти как обратное преобразование Лапласа выражения (Д. 19); если C5 = p + i, то импульсная характеристика выглядит следующим образом:

1072 Приложение Д. s-область. 2-область и ниЛоовяя Лилктпж шя