Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 [ 266 ] 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

Пример 13.2. Энтропия двоичного источника с памятью

Рассмотрим двоичный (т е. двухсимвольный) Марковский источник второго порядка, описанный диаграммой состояний, изображенной на рис. 13 1. Источник определен вероятностями переходов состояний Р(01) и Р(10), равными 0,45 и 0,05. Энтропия источника X - это взвешенная сумма условных энтропии, соответствуюших вероятностям переходов модели.

Р(10) = 0,05

Р(00) = 0,95

Р(11) = 0,55

Р(01) = 0,45

Рис. 13.1. Диаграмма переходов от состояния к состоянию для Марковской модели первого порядка

ЩХ)=Р{0)щх\а) + Р{\)щх\\), (13.10)

ЩХ\0) = -[Р{0\0) log2 Р(00) + Р(10) log2 Р(10)]

ЩХ\1) = -[Р(01) l0g2 Р(01) + Р(1\1) 10g2 Я(11)].

Априорная вероятность каждого состояния находится с помощью формулы полной вероятности.

Р(0) = Р(р\0)Р(р) + Р(0 1 )Р( 1) Р(1) = Я(10)Р(0) + Р(11)Р(1) Р(0) + Р(1)=1

Вычисляя априорные вероятности с использованием переходных вероятностей, получим следующее:

Р(0) = 0,9иР(1) = 0,1.

При вычислении энтропии источника с использованием равенства (13.10) получим следующее: ЩХ) = [Р{0) ЩХ\0) + РЦ) ЩХ\1)] =

=(0,9)(0,286) + (0,1)(0,993) = 0,357 бит/символ.

Сравнивая этот результат с результатом примера 13.1, видим, что источник с памятью имеет энтропию ниже, чем источник без памяти, даже несмотря на то что априорные вероятности символов те же.

Пример 13.3. Коды расширения

Алфавит двоичного Марковского источника (пример 13.2) состоит из О и 1, появляющихся с вероятностями 0,9 и 0,1, соответственно. Последовательные символы не являются независимыми, и для использования преимуществ этой зависимости можно определить новое множество кодовых символов - двоичные 2-кортежи (коды расширения).

Двоичные 2-кортежи Символ расширения Вероятность символа расширения

00 И 01 10

а b с d

P{d) = Р(00)Р(0) = (0,95)(0,9) = 0,855 РФ) = Р(11)Я(1) = (0,55)(0,1) = 0,055 Р{с) = Р(01)Р(1) = (0,45)(0,1) = 0,045 P{d) = Р(10)Р(0) = (0,05)(0,9) = 0,045

13 1 Игтпчникм

Здесь крайняя правая цифра 2-кортежа является самой ранней. Энтропия для этого алфавита кодов расширения находится посредством обобщения равенства (13.10).

ЩХ2) = Р(а) Н(Х2\а) + Рф) Н(К2\Ь) + Р{с) Н(Х2\с) + P{d) ЩХгИ)

Я(Х2) = 0,825 бит/выходной символ

ЩХ2) = 0,412 бит/входной символ,

где Xt - расширение -го порядка источника X. Более длинный код расширения, использующий преимущества зависимости соседствующих символов, имеет следующий вид.

Используя снова обобщение уравнения (13.10), энтропию для этого кода расширения мояшо найти как

Н{\з) = 1,223 бит/выходной символ Я(Хз) = 0,408 бит/входной символ.

Отметим, Что энтропия односимвольного, двухсимвольного и трехсимвольного описаний источника (0,470, 0,412 и 0,408 бит, соответственно) асимптотически убывает к энтропии источника, равной 0,357 бит/входной символ. Напомним, что энтропия источника - это нижний предел в битах на входной символ для этого алфавита (память бесконечна), и этот предел не может быть достигнут с помощью кодирования конечной длины.

13.1.2. Источники сигналов

Источник сигнала - это случайный процесс некоторой случайной переменной. Считается, что эта случайная переменная - время, так что рассматриваемый сигнал - это изменяющийся во времени сигнал. Важными примерами изменяющихся во времени сигналов являются выходы датчиков, используемых для контроля процессов и описывающих такие физические величины, как температура, давление, скорость и сила ветра. Значительный интерес представляют такие примеры, как речь и музыка. Сигнал может также быть функцией одной или более пространственных величин (т.е. расположение на плоскости с координатами х и у). Важными примерами пространственных сигналов являются единичные зрительные образы, такие как фотография, или движущиеся зрительные образы, такие как последовательные кадры художественного фильма (24 кадра/с). Пространственные сигналы часто преобразуются в изменяющиеся во времени сигналы посредством сканирования. Например, это делается для систем факсимильной связи и передач в формате JPEG, а также для стандартных телевизионных передач.

13.1.2.1. Функции плотности амплитуд

Дискретные источники описываются путем перечисления их возможных элементов (называемых буквами алфавита) и с помощью их многомерных функций плотности вероятности (probability density function - pdf) всех порядков. По аналогии источники сигналов подобным образом описываются в терминах их функций плотности вероятности, а также параметрами и функциями, определенными с помощью этих функций плотности вероятности. Многие сигналы моделируются как случайные процессы с классическими функциями плотности вероятности и простыми корреляционными свойствами. В процессе моделирования различаются краткосрочные, или локальные (временные), характеристики и долгосрочные, или глобальные. Это деление необходимо, так как многие сигналы являются нестационарными.

Функция плотности вероятности реального процесса может быть не известна разработчику системы. Конечно, в реальном времени для короткого предшествующего интервала можно быстро построить выборочные плотности и использовать их как разумные оценки в течение последующего интервала. Менее претенциозная задача - это создание краткосрочных средних параметров, связанных с сигналами. Эти параметры - выборочное среднее (или среднее по времени), выборочная дисперсия (или среднеквадратическое значение процесса с нулевым средним) и выборочные коэффициенты корреляции, построенные на предшествующем выборочном интервале. При анализе сигналов входной сигнал преобразуется в процесс с нулевым средним путем вычитания его среднего значения. Например, это происходит в устройствах сравнения сигналов, используемых в аналого-цифровых преобразователях, для которых вспомогательная схема измеряет внутренние смещения от уровня постоянного напряжения канала передачи данных и вычитает их в процессе, известном как автонуль (autozero). Далее оценка дисперсии часто используется для масштабирования входного сигнала, чтобы сопоставить динамику размаха амплитуды последующего сигнала, обусловленную схемой. Этот процесс, выполняемый при сборе данных, называется автоматической регулировкой усиления (automatic gain control - AGC, АРУ). Функцией этих операций, связанных с предварительным формированием сигналов, - вычитание среднего, контроль дисперсии или выравнивание усиления (показанных на рис. 13.2) - является нормирование функций плотности вероятности входного сигнала. Это нормирование обеспечивает оптимальное использование ограниченного динамического диапазона последующих записывающих, передающих или обрабатывающих подсистем.

Многие источники сигналов демонстрируют значительную корреляцию амплитуды на последовательных временных интервалах. Эта корреляция означает, что уровни сигнала на последовательных временных интервалах не являются независимыми. Если временные сигналы независимы на последовательных интервалах, автокорреляционная функция будет импульсной. Многие сигналы, представляющие инженерный интерес, имеют корреляционные функции конечной ширины. Эффективная ширина корреляционной функции (в секундах) называется временем корреляции процесса и подобна временной константе фильтра нижних частот. Этот временной интервал является показателем того, насколько большой сдвиг вдоль оси времени требуется для потери корреляции между данными. Если время корреляции большое, то это значит, что амплитуда сигнала меняется медленно. Наоборот, если время корреляции мало, делаем вывод, что амплитуда сигнала значительно меняется за очень малый промежуток времени.

П 1 IHfxnuui/ib-i/i , - gt;, i 827