Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 [ 147 ] 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

наблюдается ухудшение вероятности ошибки? Для высоких степеней кодирования это легко объяснить, сравнивая высокие степени кодирования с оптимальной степенью кодирования. Любой код в целом обеспечивает все преимущества кодирования; следовательно, как только степень кодирования приближается к единице (нет кодирования), система проигрывает в надежности передачи. Ухудшение характеристик при низких степенях кодирования является более тонким вопросом, поскольку когда EJNo фиксировано работает два механизма. Один механизм направлен на снижение вероятности появления ошибок, другой повышает ее. Механизм, снижающий вероятность появления ошибки, - это кодирование; чем больше избыточность, тем больше возможности кода в коррекции ошибок. Механизм, повышающий эту вероятность, - это снижение энергии, приходящейся на канальный символ (по сравнению с информационным символом), что следует из увеличения избыточности, вызывающей быструю передачу сигналов (в системах связи реального времени). Уменьшенная энергия канального символа вынуждает демодулятор совершать больше ошибок. В конечном счете второй механизм подавляет первый, поэтому очень низкие степени кодирования вызывают ухудшение характеристик кода.

-Декодирование с исправлением ошибок

-Декодирование с исправлением ошибок/стираний

0,2 0,4 0,6 0,8 Степень кодирования

Рис. 8.6. Характеристики декодера Рида-Соломона (31, к) как функция степени кодирования (модуляция BPSK)

Давайте попробуем подтвердить зависимость вероятности появления ошибок от степени кодирования, показанную на рис. 8.6, с помощью кривых, изображенных на рис. 8.2. Непосредственно сравнить рисунки не удастся, поскольку на рис. 8.6 применяется модуляция BPSK, а на рис. 8.2 - 32-ричная модуляция MFSK. Однако, пожалуй, нам удастся показать, что зависимость характеристик кода Рида-Соломона от его степени кодирования

выглядит одинаково как при BPSK, так и при MFSK. На рис. 8.2 вероятность появления ошибки в канале AWGN снижается при увеличении способности кода t к коррекции символьных ошибок с f = 1 до f = 4; случаи t= 1 и f = 4 относятся к кодам (31, 29) и (31, 23) со степенями кодирования 0,94 и 0,74. Хотя при f = 8, что отвечает коду (31,15) со степенью кодирования 0,48, достоверность передачи Рд = 10 достигается при примерно на 0,5 дБ большем отношении Ei/No, по сравнению со случаем г = 4. Из рис. 8.2 можно сделать вывод, что если нарисовать график зависимости достоверности передачи от степени кодирования кода, то кривая будет иметь вид, подобный приведенному на рис. 8.6. Заметим, что это утверждение нельзя получить из рис. 8.1, поскольку там представлена передаточная функция декодера, которая несет в себе сведения о канале и демодуляции. Поэтому из двух механизмов, работающих в канале, передаточная функция (рис. 8.1) представляет только выгоды, которые проявляются на входе/выходе декодера, и ничего не говорит о потерях энергии канального символа как функции низкой степени кодирования. В разделе 9.7.7 будет более подробно рассказано о выборе кода в соответствии с типом модуляции.

8.1.4. Конечные поля

Для понимания принципов кодирования и декодирования недвоичных кодов, таких как коды Рида-Соломона, нужно сделать экскурс в понятие конечных полей, известных как поля Галуа (Galois fields - GF). Для любого простого числа р существует конечное поле, которое обозначается G (p) и содержит р элементов. Понятие GF(p) можно обобщить на поле из элементов, именуемое полем расширения GF(p); это поле обозначается GF(p ), где т - положительное целое число. Заметим, что GF(p ) содержит в качестве подмножества все элементы GF(p). Символы из поля расширения GF(2 ) используются при построении кодов Рида-Соломона.

Двоичное поле GF(2) является подполем поля расширения GF(2 ), точно так же как поле вещественных чисел является подполем поля комплексных чисел. Кроме чисел О и 1, в поле расширения существуют дополнительные однозначные элементы, которые будут представлены новым символом а. Каждый ненулевой элемент в GF(2 ) можно представить как степень а. Бесконечное множество элементов, F, образуется из стартового множества {0,1, а} и генерируется дополнительными элементами путем последовательного умножения последней записи на а.

F={0, 1,а,а.....d,...} = {О, а deg;, а, ... ,а, ...} (8.9)

Для вычисления из F конечного множества элементов GF(2 ) на F нужно наложить условия: оно может содержать только 2 элемента и быть замкнутым относительно операции умножения. Условие замыкания множества элементов поля по отношению к операции умножения имеет вид нередуцируемого полинома

а - +1 = 0

или, что то же самое,

(2 -1)1 о (8 10)

С помощью полиномиального ограничения любой элемент со степенью, большей или равной 2 -1, можно следующим образом понизить до элемента со степенью, меньшей 2 - 1:

Таким образом, как показано ниже, уравнение (8.10) можно использовать для формирования конечной последовательности F* из бесконечной последовательности F.

/* = {0,l,a,a...,a2 -a -a2...} =

= 10,a,a,a...,a -a,a,a...}

Следовательно, из уравнения (8.12) можно видеть, что элементы конечного поля GF(2 ) даются следующим выражением:

GF(2 ) = {0,а deg; ,а\а .....а . (8.13)

8.1.4.1. Операция сложения в поле расширения GF(2 )

Каждый из 2 элементов конечного поля GF(2 ) можно представить как отдельный полином степени т - 1 или меньше. Степенью полинома называется степень члена максимального порядка. Обозначим каждый ненулевой элемент GF(2 ) полиномом а,(,Х), в котором по крайней мере т коэффициентов а,(,Х) ненулевые. Для / = 0, 1, 2, 2 -2,

а, = а,(Х) = а о + а iX + а,2Х+...+ а, . .Г . (8.14)

Рассмотрим случай т = 3, в котором конечное поле обозначается GF(2). На рис. 8.7 показано отображение семи элементов {а,} и нулевого элемента в слагаемые базисных элементов {Х , Х, Х}, описываемых уравнением (8.14). Поскольку из уравнения (8.10) а deg; = а, в этом поле имеется семь ненулевых элементов или всего восемь элементов. Каждая строка на рис. 8.7 содержит последовательность двоичных величин, представляющих коэффициенты а о, а, i и а, 2 из уравнения (8.14). Одним из преимуществ использования элементов {а} поля расширения, вместо двоичных элементов, является компактность записи, что оказывается удобным при математическом описании процессов недвоичного кодирования и декодирования. Сложение двух элементов конечного поля, следовательно, определяется как суммирование по модулю 2 всех коэффициентов при элементах одинаковых степеней,

a, + aj = (a o + aj,o) + (a,.i +aj,i)A:+ ...+( laquo; -, +aj,m-i)X (8.15)

8.1.4.2. Описание конечного поля с помощью примитивного полинома

Класс полиномов, называемых примитивными полиномами, интересует нас, поскольку такие объекты определяют конечные поля GF(2 ), которые, в свою очередь, нужны для описания кодов Рида-Соломона. Следующее утверждение является необходимым и достаточным условием примитивности полинома. Нередуцируемый полином ДХ) порядка т будет примитивным, если наименьшим положительным целым числом п, для которого Х + 1 делится наДХ), будет laquo; = 2 - 1. Заметим, что нередуцируемый полином - это такой полином, который нельзя представить в виде произведения полиномов меньшего порядка; делимость А на В означает, что А делится на В с