Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

каналу, который всегда вносит ошибки в виде пакета 3-битовых ошибок, и, следовательно, нет необходимости в исправлении одно- или двухбитовых ошибок. Можно ли настроить образующие элементы классов смежности так, чтобы они соответствовали только трехбитовым ошибкам? Нетрудно определить, что в последовательности из 8

бит существует = 56 возможностей произвести трехбитовую ошибку. Если единственным нашим желанием является коррекция только этих 56 моделей трехбитовых ошибок, то кажется, что в нормальной матрице достаточно места (достаточное количество классов смежности), поскольку всего в ней имеется 64 строки. Будет ли это работать? Однозначно, нет. Для любого кода главным параметром, определяющим способности кода к коррекции ошибок, является d,. Для кода (8, 2) 4 = 5, а это означает, что возможно исправление только 2-битовых ошибок.

Как нормальная матрица может помочь разобраться, почему эта схема не будет работать? Чтобы осуществить исправление д:-битовых ошибок для фуппы д:-битовых моделей ошибки, полная фуппа векторов с весовым коэффициентом х должна быть классом смежности, т.е. они должны находиться только в крайнем левом столбце. На рис. 6.15 можно видеть, что все векторы с весовым коэффициентом 1 и 2 находятся в крайнем левом столбце нормальной матрицы и нигде более. Если мы даже и втиснем все векторы с весовым коэффициентом 3 в строку со второго номера по 57-й, увидим, что некоторые из этих векторов снова появятся в матрице где-нибудь еще (что нарушит основное свойство нормальной матрицы). На рис. 6.15 затененные блоки обозначают те 56 векторов, которые имеют весовой коэффициент 3. Взгляните на образующие элементы классов смежности, представляющие 3-битовые модели ошибки, в строках 38, 413, 46-49 и 52 нормальной матрицы. Потом посмотрите на позиции в тех же строках в крайнем правом столбце, где затененные блоки показывают другие векторы с весовым коэффициентом 3. Видите некоторую неопределенность, существующую для каждой строки, о которых говорилось выше, и понятно ли теперь, почему нельзя исправить все 3-битовые модели ошибки с помощью кода (8,2)? Допустим, декодер принял вектор с весовым коэффициентом 3 - 11001000, размещенный в строке 38 в крайнем правом столбце. Это искаженное кодовое слово могло появиться, во-первых, при передаче кодового слова 11001111, искаженного 3-битовой модели ошибки 000 00 1 1 1, а во-вторых, при передаче кодового слова 00 000000, искаженного 3-битовой моделью ошибки 1 1001000.

6.7. Циклические коды

Важным подклассом линейных блочных кодов являются двоичные циклические коды (cyclic codes). Код легко реализуется на регистре сдвига с обратной связью; на подобных регистрах сдвига с обратной связью вычисляется синдром; алгебраическая структура циклического кода естественным образом позволяет эффективно реализовать методы декодирования. Итак, линейный код (я, к) называется циклическим, если он обладает следующим свойством. Если я-кортеж U= (uq, u laquo;2,м ,) является кодовым словом в подпространстве S, тогда U(l)= (u i, mq, mj, ui, laquo; -г), полученный из U с помощью циклического сдвига, также является кодовым словом в S. Или, вообще, U(i) = (M м ,+ 1,м Мо, М,w -,-i), полученный i циклическими сдвигами, является кодовым словом в S.

Компоненты кодового слова U = (mq, Mj, uj, м -)) можно рассматривать-как коэффициенты полинома 1](Х):

U(X) = Uo + m,X + игХ +...+Un-X~- (6.54)

Полиномиальную функцию IJ(X) можно рассматривать как заполнитель разрядов кодового слова и, т.е. вектор л-кортежа описывается полиномом степени л -1 или меньше. Наличие или отсутствие каких-либо членов в полиноме означает наличие 1 или О в соответствующем месте л-кортежа. Если м 1-й компонент отличен от нуля, порядок полинома равен л -1. Удобство такого полиномиального представления кодового слова станет более понятным по мере дальнейшего обсуждения алгебраических свойств циклических кодов.

6.7.1. Алгебраическая структура циклических кодов

В кодовых словах, выраженных в полиномиальной форме, циклическая природа кода проявляется следующим образом. Если 1](Х) является .кодовым словом, представленным полиномом порядка (л - 1), то U (X) - остаток от деления Х1](Х) на X + i - также является кодовым словом. Иными словами,

ХУ(Х) , УЧХ)

---= q(X)+--- (6.55,а)

Х +1

или, умножая обе части уравнения наХ+l,

XU(X) = q(X)(X + 1) + U lt; (A:), (6.55,6)

остаток

что в модульной арифметике можно описать следующим образом:

V\X) = XV(X) по модулю (X + 1). (6.56)

Здесь х по модулю у означает остаток от деления х на у. Ниже справедливость выражения (6.56) демонстрируется для случая ( = 1.

ViXj = Uo + UiX+U2X+...+U .24u .xX -

X\](X) = uoX + UiX- + u2X+ ...+и 2+и .Х

К последнему выражению прибавим и вычтем ы , или, поскольку мы пользуемся арифметическими операциями по модулю 2, можем прибавить и ., дважды.

Хи{х) = ц 1 +цоХ +щХ- +U2X +-+ -2 ~ + -1 + laquo; != и gt; (X ) + laquo; )( X +1) и* (Х)

Поскольку порядок и*(Х) равен л - 1, этот полином не делится на X + 1. Таким образом, используя уравнение (6.55,а), можно записать следующее:

и lt; (Х) = XU(X) по модулю (X + 1).

Обобщая, приходим к уравнению (6.56).

и lt;*(Х) = XU(X) по модулю (X + 1)

Пример 6.7. Циклический сдвиг вектора кода

Пусть и = 1 10 1 для я = 4. Выразите кодовое слово в полиномиальной форме и, используя уравнение (6.56), выполните третий циклический сдвиг кодового слова.

Решение

U(X) =\+Х + Х полином записан в порядке возрастания степени

XU(X) = Х +X + Xf, где ( = 3

Разделим Х\}{Х) на Х + 1 и найдем остаток, используя полиномиальное деление.

+ Х

+ X

+ X + X

Х + 1 остаток и reg;(ДГ)

Записываем остаток в порядке возрастания степеней: I + Х + Х, кодовое слово =10 11 представляет собой три циклических сдвига U = 1 10 1. Напомним, что для двоичных кодов операция сложения выполняется по модулю 2, так что + 1 = - 1, и, следовательно, в расчетах знаки минус не отражены.

6.7.2. Свойства двоичного циклического кода

С помощью полиномиального генератора можно создать циклический код, почти так же как создавались блочные коды с использованием матрицы генератора. Полиномиальный генератор g(X) для циклического кода (я, к) является единственным и имеет следующий вид:

giX)=go + giX + g2X+...+g. (6.57)

Здесь go и gp должны быть равны 1. Каждый полином кодового слова в подпространстве имеет вид U(X) = m(X)g(X), где U(X) - полином степени я - 1 или меньше. Следовательно, полином сообщения т{Х) будет иметь следующий вид:

т(Х) = то +/и, +/ИгХЧ ... +/и р iX (6.58)

Всего в коде (я, к) существует 2 полинома кодовых слов и 2* вектора кода. Поэтому на каждый вектор кода должен приходиться один полином кодового слова.

п - р = к

р = п-к

Отсюда следует, что g(X), как показано в уравнении (6.57), должен иметь степень п-к, и каждый полином кодоюго слова в коде (я, к) можно выразить следующим образом:

U(X) = (wo + /и,Х + ШгХ + ... + /и iX ) g(X). (6.59)

и будет считаться действительным кодовым словом из подпространства S тогда и только тогда, когда U(X) делится на giX) без остатка.