Динамо-машины  Сигналы и спектры 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358

вектор), образованного с использованием элементов данного алфавита. Если алфавит состоит только из двух элементов (О и 1), код является двоичным и включает двоичные разряды (биты). Если не будет оговорено противное, наше посяед)тощее обсуждение линейных блочных кодов будет подразумевать именно двоичные коды.

А-битовые сообщения формируют набор из 2* последовательностей сообщения, называемых к-кортежами (A-tuple) (последовательностями к цифр), п-битовые блоки могут формировать 2 последовательности, также именуемые п-кортежами. Процедура кодирования сопоставляет с каждым из 2* А-кортежей сообщения один из 2 п-кортежей. Блочные коды представляют взаимно однозначное соответствие, в силу чего 2* А-кортежей сообщения однозначно отображаются в множество из 2* /г-кортежей кодовых слов; отображение производится согласно таблице соответствия. Для линейньрс кодов преобразование отображения является, конечно же, линейным.

6.4.1. Векторные пространства

Множество всех двоичных л-кортежей, V , называется векторным пространством на двоичном поле двух элементов (О и 1). В двоичном поле определены две операции, сложение и умножение, причем результат этих операций принадлежит этому же множеству двух элементов. Арифметические, операции сложения и умножения определяются согласно обычным правилам для алгебраического поля [4]. Например, в двоичном поле правила сложения и умножения будут следующими:

Сложение Умножение

0Ф0=0 0-0=0

0Ф1=1 0-1=0

1Ф0=1 1-0=0

1Ф1=0 1-1 = 1

Операция сложения, обозначаемая символом Ф , - это та же операция сложения по модулю 2, которая описывалась в разделе 2.9.3. Суммирование двоичных п-кортежей всегда производится путем сложения по модулю 2. Хотя для простоты мы чаще будем использовать для этой операции обычный знак +.

6.4.2. Векторные подпространства

Подмножество 5 векторного пространства V называется подпространством, если для него выполняются следующие условия.

1. Множеству S принадлежит нулевой вектор.

2. Сумма любых двух векторов в 5 также принадлежит 5 {свойство замкнутости).

При алгебраическом описании линейных блочных кодов данные свойства являются фундаментальными. Допустим, V, и V, - два кодовых слова (или кодовых вектора) в двоичном блочном коде (л, к). Код называется линейным тогда и только тогда, когда (V, Ф V,) также является кодовым вектором. Линейный блочный код - это такой код, в котором вектор, не принадлежащий подпространству, нельзя получить путем сложения любых кодовых слов, принадлежащих этому подпространству.

Например, векторное пространство V4 состоит из следующих шестнадцати 4-кортежей:

0000 0001 0010 ООН 0100 0101 оно 0111 1000 1001 1010 юн 1100 1101 1110 1111

примером подмножества v4, являющегося подпространством, будет следующее:

0000 0101 1010 1111

Легко проверить, что сложение любых двух векторов подпространства может дать в итоге лишь один из векторов подпространства. Множество из 2* п-кортежей называется линейным блочным кодом тогда и только тогда, когда оно является подпространством векторного пространства V всех /г-кортежей. На рис. 6.10 показана простая геометрическая аналогия, представляющая структуру линейного блочного кода. Векторное пространство V можно представить как составленное из 2 ,г-кортежей. Внутри этого векторного пространства существует подмножество из 2* /г-кортежей, образующих подпространство. Эти 2* вектора или точки показаны разбросанными среди более многочисленных 2 точек, представляющих допустимые или возможные кодовые слова. Сообщение кодируется одним из 2* возможных векторов кода, после чего передается. Вследствие наличия в канале шума приниматься может измененное кодовое слово (один из 2 векторов пространства ;г-кортежей). Если измененный вектор не слишком отличается (лежит на небольшом расстоянии) от действительного кодового слова, декодер может детектировать сообщение правильно. Основная задача выбора конкретной части кода подобна цели выбора семейства модулирующих сигналов, и в контексте рис. 6.10 ее можно определить следующим образом.

2 п-кортежей составляют полное пространство Vn

2 п-кортежей составляют подпространство кодовых слов

Рис. 6.10. Структура линейного блочного кода

1. Наполняя пространство V максимальным количеством кодовых слов, мы боремся за эффективность кодирования. Это равносильно утверждению, что мы хотим ввести лишь небольшую избыточность (избыток полосы).

2. Мы хотим, чтобы кодовые слова были максимально удалены друг от друга, так что даже если векторы будут искажены в ходе передачи, их все еще можно будет с высокой вероятностью правильно декодировать.

6.4.3. Пример линейного блочного кода (6,3)

Приведем необходимые предварительные замечания относительно кода (6, 3). Он состоит из 2* = 2 = 8 векторов сообщений и, следовательно, восьми кодовых слов. В векторном пространстве Уб имеется 2 (2* = шестьдесят четыре) 6-кортежей.

Нетрудно убедиться, что восемь кодовых слов, показанных в табл. 6.1, образуют в Уб подпространство (есть нулевой вектор, сумма любых двух кодовых слов дает кодовое слово этого же подпространства). Таким образом, эти кодовые слова представляют линейный блочный код, определенный в разделе 6.4.2. Может возникнуть естественный вопрос о соответствии кодовых слов и сообщений для этого кода (6, 3). Однозначного соответствия для отдельных кодов (п, к) не существует; хотя, впрочем, здесь нет полной свободы выбора. Подробнее о требованиях и ограничениях, сопровождающих разработку кода, будет рассказано в разделе 6.6.3.

Таблица 6.1. Соответствие кодовых слов и сообщений

6.4.4. Матрица генератора

При больших к реализация таблицы соответствия кодера становится слишком громоздкой. Ддя кода (127, 92) существует 2 или приблизительно 5 х 10 кодовых векторов. Если кодирование выполняется с помощью простой таблицы соответствия, то представьте, какое количество памяти нужно для такого огромного числа кодовых слов! К счастью, задачу можно значительно упростить, по мере необходимости генерируя необходимые кодовые слова, вместо того чтобы хранить их в памяти постоянно.

Поскольку множество кодовых слов, составляющих линейный блочный код, является /:-мерным подпространством п-мерного двоичного векторного пространства {к lt; п), всегда можно найти такое множество п-кортежей (с числом элементов, меньшим 2*), которое может генерировать все 2* кодовых слова подпространства. О генерирующем множестве векторов говорят, что оно охватывает подпространство. Наименьшее линейно независимое множество, охватывающее подпространство, называется базисом подпространства, а число векторов в этом базисном множестве является размерностью подпространства. Любое базисное множество к линейно независимых п-кортежей Vi, V2.....можно использовать

для генерации нужных векторов линейного блочного кода, поскольку каждый вектор кода является линейной комбинацией Vi, V2,Vt. Иными словами, каждое из множества 2* кодовых слов (U} можно представить следуюшим образом:

и = ш, V] +т2 v2 + .

Здесь т, = (О или 1) - цифры сообщения, а / = 1,к.