Динамо-машины  Обратные коды 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189

соответствовала числу О (достаточно среди цифр иметь положительные и отрицательные, числа, подобранные специальным образом), но тогда не выполнялось бы условие (4). Полное доказательство слишком громоздко, и мы его здесь приводить не будем.

Если цифры выбраны указанным образом, то правила счета при позиционном способе изображения чисел очень просты. Правило прямого счета выглядит следующим образом:

для того чтобы от какого-либо числа перейти к ближайшему большему числу, нужно в первом {младшем) из разрядов, цифра которого не является наибольшей допустимой для данного меапа, заменить находящуюся в нем цифру ближайшей большей, а во всех разрядах, находящихся правее от него, заменить наибольшие допустимые для них цифры наименьшими допустимьши.

Правило обратного счета аналогично:

для того чтобы от какого-либо числа перейти к ближайшему меньшему числу, нужно в первом (младшем) из разрядов, цифра которого не является наименьшей допустимой для данного места, заменить находящуюся в нем цифру ближайшей меньшей, а во всех разрядах, находящихся правее от него, заменить наименьшие допустимые для них цифры наибольшими допустимыми.

Пусть, например, число 62,498 записано позиционным способом с естественными весами разрядов в десятичной системе счисления, причем цифрам соответствуют числа О, 1, 2,..., 9. Иначе говоря, способ представления чисел - общепринятый в повседневной практике. Первым из разрядов, цифра которого не является наибольшей допустимой для данного места, является самый младший разряд числа (в нем стоит цифра laquo;8 raquo;). Поэтому ближайшее большее число, выраженное теми же разрядами, есть число 62,499. Для этого последнего числа ближайшим большим является число 62,500. Младшим из разрядов, цифра которого не являлась наибольшей допустимой для данного места, был третий справа разряд; имевшаяся в нем цифра ( laquo;4 raquo;) заменена на ближайшую большую. ( laquo;5 raquo;); во всех разрядах, находящихся правее от него, наибольшие допустимые для них цифры ( laquo;9 raquo;) заменены наименьшими допустимыми ( laquo;О raquo;).

Конечно, при общепринятом способе изображения чисел приведенные правила счета представляются слишком очевидными. Читателю предлагается, однако, попробовать применить их, например, в троичной системе счисления с цифрами -1, О, +1 или в двоично-пятеричной системе с цифрами О, 1 для двоичных разрядов и цифрами -2, -1, О, -i-l, +2 для пятеричных разрядов, чтобы убедиться, что правила эти не так тривиальны, как могло бы показаться.

Приведенные правила счета сравнительно просты. Они легко реализуются в схемах счетчиков. Так же достаточно удобны для схемной реализации вытекающие из них правила выполнения сложения и вычитания. В этом состоит одно из важнейших преимуществ позиционного способа представления чисел с естественньши весами разрядов перед другими способами изображения чисел. Кстати, и тот простой алгоритм умножения, который был приведен в разделе 1.2.3, существенным образом использовал позиционный характер способа представления чисел и естественный порядок весов разрядов. То же относится и к правилам перевода чисел из одной системы счисления в другую, рассмотренным в 1.2.4.

Другое очень важное достоинство рассматриваемого способа изображения чисел состоит в наличии простого правила округления. Отбросив в позиционном представлении числа (с естественными весами разряда) все разряды, находящиеся правее некоторого разряда, мы получим число, которое отличается от исходного менее чем на единицу младшего из оставшихся разрядов. Например, отбрасывая в десятичном числе 62,498. (представленном позиционным способом с естественными весами разрядов) две младшие цифры, получим число 62,4, которое отличается от исходного менее чем на единицу младшего из оставшихся разрядов, т. е. менее чем на Vio- Простым общеизвестным приемом ошибку округления можно сократить до величины, не превышающей половины младшего из оставшихся разрядов.

Возможность округления чисел имеет очень важное значение при выполнении операций с ограниченным количеством разрядов. В 1.3.4 рассматривается один пример символического способа представления чисел, имеющего весьма

существенные достоинства, но не нашедшего до сих пор широкого применения главным образом из-за отсутствия удобных способов округления.

Наличие простых правил счета (а также выполнения других операций) и простого правила округления чисел является причиной того, что в вычислительных машинах в подавляющем большинстве случаев используются именно -позндионные способы представления чисел с естественными весами разрядов-или близкие к ним способы. Никем, однако, не доказано, что среди бесконечного разнообразия возможных способов изображения чисел, отличающихся от позиционных с естественньши весами разрядов, не могут быть найдены такие способы, которые тоже обеспечивали бы удобные правила счета и округления и, может быть, имели бы какие-нибудь дополнительные преимущества.

1.3,3. Способы изображения чисел, близкие к позиционному изображению с естественными весами разрядов.

В вычислительной технике сравнительно часто исполь-зунэтся способы изображения чисел, близкие к позиционному. Строго говоря, эти способы во многих случаях являются символическими; иногда сохраняется позиционный характер изображения чисел, но веса разрядов отличаются от естественных. Общим для них является наличие простых правил перехода к позиционному изображению чисел с естественными весами разрядов, в связи с чем правила счета и округления чисел похожи на аналогичные правила, рассмотренные в 1.3.2.

Здесь не дано точного определения тому, что назьюает-ся изображением чисел, близким к позиционному способу с естественными весами разрядов. Однако приводимый ниже пример поясняет смысл, который вкладывается в это понятие.

В качестве примера рассмотрим двоичную систему с цифрами laquo;-1 raquo; и laquo;-[-1 raquo; (вместо обычных laquo;О raquo; и laquo;1 raquo;). Вдальней-шем цифру laquo;-1 raquo; мы будем записывать знаком laquo;1 raquo;, цифру laquo;+1 raquo;, как обьино, знаком laquo;1 raquo;. В 1.3.2. говорилось о том, что набор цифр 1,1 нельзя использовать в двоичной системе при позиционном способе изображения чисел и естественных весах разрядов, потому что, имея ограниченное количество разрядов т, цифрами 1, 1 нельзя записать число нуль.