Динамо-машины  Обратные коды 

1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189

близкие результаты могут дать двоичная и четверичная системы, которые между собой оавноценны; десятичная система оказывается примерно в 1,5 раза расточительнее, чем двоичная или четверичная jncTkjMbi, и примерно в 1,6 раза расточительнее троичной системы.

Хотя оценки, подобные приведенным выше, можно часто встретить в литературе по вычислительным машинам, все же нужно помнить, что область применения этих оценок ограничена.

Главное ограничение связано с предположением, что количество оборудования в некотором разряде пропорционально основанию системы счисления п.

В действительности в течение многих лет вычислительная техника не имела в своем распоряжении таких элементов и должна была пользоваться почти исключительно элементами 2-позиционными. Только в последние годы появились достаточно устойчивые и-позиционные элементы, такие, сложность которых примерно пропорциональна п*).

Необходимо помнить, что функция /(п)(как, впрочем, и те оценочные функции, которые рассматриваются ниже) учитывает только оборудование в цифровых элементах и, может быть, элементах запоминания. Зависимость количества логических и других элементов схемы вычислительной машины от основания системы счисления нельзя учесть столь простыми соотношениями.

2 deg;. Функция ф (п). Ввиду отсутствия достаточно надежных и экономичных многопозиционных цифровых и запо-минаюш;их элементов в вычислительных машинах почти никогда не прибегали к непосредственному изображению цифр систем счисления с большими основаниями. Обычно если основание системы счисления п больше двух, то каждая из п цифр кодируется определенной комбинацией нескольких двоичных цифр -подобно тому, как в телеграфном коде Бодо каждая десятичная цифра кодируется определенной комбинацией из токовых и бестоковых посылок. Например, обозначив двоичные цифры символами laquo;О raquo; и

*) См., например, К а р ц е в М. А., Принцип подвижных блокировок при построении схем электронных цифровых машин, ДАН СССР, т. 135, № 5, 1960, стр. 1064-1076, а также раздел 2.6 настоящей книги.

laquo;1 raquo;, можно 10 десятичных цифр представить следующими десятью комбинациями из двоичных цифр:

0 - ОООО, 5 - 0101,

1 - - 0001, 6 - ОНО,

2 - 0010, 7 - 0111,

3 - ООН, 8 - 1000,

4 - 010О, 9 - 1001.

При ЭТОМ для изображения цифры какого-либо разряда числа в системе счисления с основанием п нам потребуется вместо одного п-позиционного элемента несколько 2-позиционных. Группа 2-позиционных элементов сможет хранить ту комбинацию двоичных цифр, которая соответствует нужной цифре системы счисления с основанием п.

Пусть через Я (п) обозначено минимальное количество двоичных разрядов, необходимых для представления одной цифры системы счисления с основанием п. Это число должно быть выбрано так, чтобы количество различных комбинаций из двоичных цифр в Я (п) разрядах было не меньше, чем п, т. е. чтобы выполнялось неравенство 2 gt; п (или Я (л) gt; loggw). Ясно, что если п есть целая степень двойки, то Я (п) = loggn; во всех других случаях Я (п) - ближайшее большее целое число к logg п. Иными словами, Я (п) есть целое число, заключенное в интервале

log2 laquo; lt; (п) lt; loggH + 1.

Например, для изображения 10 десятичных цифр требуется по меньшей . мере 4 двоичных разряда, так как logglO = 3,32... (откудаЯ (10) = 4). Всего4двоичные цифры могут образовать 16 разных комбинаций. Любые 10 из них могут быть любым способом поставлены в соответствие десяти десятичным цифрам. Это можно сделать либо так, как было показано выше на этой странице, либо одним из многих других способов (см. раздел 1.6.). Так или иначе 6 комбинаций будут оставаться laquo;лишними raquo;.

Числа Я (п) для различных значений п приведены в одной из граф таблицы 1-2.

Предположим по-прежнему, что точность вычислений характеризуется количеством N разных чисел, с которыми должна оперировать машина. Соответствующее количество

Таблица 1-2

разрядов, которыми должна располагать машина, равно т - lognN. При этом полное количество 2-позиционных элементов, необходимое для представления одного числа в системе счисления с основанием п, равно

%(n)-lognN.

В частности, в двоичной системе количество 2-позиционных элементов, необходимых для представления одного числа, равно l-loggW. Функция

показывает, во сколько раз количество 2-позиционных элементов, необходимых при использовании системы счисления с основанием п, больше количества 2-позиционных элементов, необходимых при использовании двоичной системы, при одинаковой точности и при кодировании цифр системы счисления с основанием п минимальным числом двоичных разрядов.

В нижней графе таблицы 1-2 приведены значения функции ф (и) для нескольких начальных значений.

Очевидно, что для любых п имеем ф (п) 1. При этом Ф (п) = 1 в тех и только тех случаях, когда п есть целая степень двойки; во всех остальных случаях Ф (п) gt; 1. Таким образом, наиболее экономными с точки зрения необходимого оборудования являются системы счисления с основаниями 2, 4, 8, 16 и т. д., все остальные системы более расточительны. Это и понятно: если п не является целой